No Boletín - Area de un polígono (Ex.Oct/17)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:50 20 feb 2018; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Sea $A\,$ el área del polígono $BCDEF\,$ de la figura adjunta.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

(1) $\left|\,2\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BF}\,+\,\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{DE}\,\right|=2A\,$

(2) $\left|\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\,+\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EF}\,+\,\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{DF}\,\right|=2A\,$

(3) $\left|\,(\,2\,\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\,)\times\overrightarrow{CE}\,\right|=2A\,$

(4) $\left|\,2\,\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{CF}\,+\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EC}\,\right|=2A\,$

2 Solución

En primer lugar, observamos que todos los productos vectoriales presentes en las cuatro igualdades propuestas (incluidos los dos obtenidos en la tercera igualdad tras aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma) tienen la misma dirección y sentido. Este detalle es importante porque nos va a permitir igualar el módulo de cada suma de productos vectoriales con la suma de los módulos de los sumandos. Y es que, aunque en general el módulo de una suma de vectores no es igual a la suma de los módulos de los vectores, dicha igualdad sí que es cierta cuando los vectores sumados tienen todos la misma dirección y el mismo sentido, que es precisamente lo que aquí ocurre: los vectores $\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BF}\,$ , $\,\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{DE}\,$ , $\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\,$ , $\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EF}\,$ , $\,\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{DF}\,$ , $\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CE}\,$ , $\,\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CE}\,$ , $\,\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{CF}\,$ y $\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EC}\,$ tienen todos dirección perpendicular al plano que contiene al polígono $BCDEF\,$ y sentido saliente de dicho plano.

Por tanto, podemos reescribir las cuatro igualdades propuestas del siguiente modo:

(1) $2\,\left|\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BF}\,\right|\,+\,\left|\,\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{DE}\,\right|=2A\,$

(2) $\left|\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\,\right|\,+\,\left|\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EF}\,\right|\,+\,\left|\,\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{DF}\,\right|=2A\,$