No Boletín - Area de un polígono (Ex.Oct/17)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:46 20 feb 2018; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Sea $A\,$ el área del polígono $BCDEF\,$ de la figura adjunta.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

(1) $\left|\,2\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BF}\,+\,\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{DE}\,\right|=2A\,$

(2) $\left|\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\,+\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EF}\,+\,\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{DF}\,\right|=2A\,$

(3) $\left|\,(\,2\,\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\,)\times\overrightarrow{CE}\,\right|=2A\,$

(4) $\left|\,2\,\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{CF}\,+\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EC}\,\right|=2A\,$

2 Solución

En primer lugar, observamos que todos los productos vectoriales presentes en las cuatro igualdades propuestas (incluidos los dos obtenidos en la tercera igualdad tras aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma) tienen la misma dirección y sentido. Este detalle es importante porque nos va a permitir igualar el módulo de cada suma de productos vectoriales con la suma de los módulos de los sumandos. Aunque en general el módulo de una suma de vectores no es igual a la suma de los módulos de los vectores, dicha igualdad sí que es cierta cuando los vectores sumados tienen todos la misma dirección y el mismo sentido, que es precisamente lo que aquí ocurre. En efecto: los vectores $\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BF}\,$ , $\,\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{DE}\,$ , $\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\,$ , $\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EF}\,$ , $\,\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{DF}\,$ , $\,\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CE}\,$ , $\,\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CE}\,$ , $\,\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{CF}\,$ y $\,\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EC}\,$ tienen todos dirección perpendicular al plano que contiene al polígono $BCDEF\,$ y sentido saliente de dicho plano.

Por tanto, podemos reescribir las cuatro igualdades propuestas del siguiente modo:

(1) $2\,\left|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BF}\right|\,+\,\left|\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{DE}\right|=2A\,$

(2) $\left|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\right|\,+\,\left|\overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{EF}\right|\,+\,\left|\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{DF}\,\right|=2A\,$