Problemas de dinámica del sólido rígido (CMR)

De Laplace

1 Momento de inercia de sólidos esféricos

Calcule el momento de inercia de una esfera maciza, de masa M y radio R alrededor de de un eje que pasa por su centro.

A partir del resultado anterior, halle el momento de inercia de una esfera hueca, de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂ respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado cuando la corona se reduce a una superficie esférica de radio R?

2 Fuerza sobre una barra

Sobre una barra de longitud b y masa M situada en reposo horizontalmente en una superficie sin rozamiento se aplica una fuerza F₀ también horizontal. El punto de la aplicación se encuentra a una distancia c del centro de la barra.

1. Si la fuerza es perpendicular a la barra, ¿cuánto valen la aceleración del CM y la aceleración angular de la barra? ¿Alrededor de qué punto comienza a girar la barra?
2. Suponga ahora que la fuerza forma un ángulo β con la barra, ¿cuánto valen ese caso las aceleraciones y donde se encuentra el centro instantáneo de rotación?
3. Suponga que la barra se encuentra articulada en un extremo de forma que sólo puede girar en torno a este punto. ¿Cuánto valen las aceleraciones en ese caso? ¿Cuánto vale la fuerza que el punto de articulación ejerce sobre la barra?
4. Si la barra estuviera empotrada en su extremo, de forma que no pudiera moverse de ninguna manera, ¿cuánto valdrían la fuerza y el momento de reacción ejercidos por la articulación?

3 Motocicleta que acelera

Es conocido que al arrancar un coche, éste levanta un poco el morro y se hunde por la parte trasera. El mismo principio se aplica a los caballitos de las motocicletas. Supongamos una motocicleta con una masa M y tal que su centro de masas se encuentra a una altura H respecto a los ejes de las ruedas (las cuales tienen radio R, masa m y momento de inercia I). El CM está a una distancia d_A del eje delantero y a una d_B del trasero.

1. Calcule la fuerza que se ejerce sobre cada eje cuando la moto arranca con una aceleración a₀ sobre un suelo horizontal.
2. Determine la fuerza de rozamiento que el suelo ejerce sobre cada rueda, así como el par ejercido por el motor sobre el eje de tracción (el de la rueda trasera).
3. ¿Cuál es la aceleración máxima que puede alcanzar la moto sin que su rueda trasera patine?
4. ¿Cuánto vale la potencia desarrollada por las diferentes fuerzas y momentos sobre el cuerpo y sobre las ruedas? ¿Cómo se transmite la energía aportada por el motor a las diferentes partes del sistema?

4 Rodillo unido a un resorte

Un rodillo cilíndrico macizo de radio R y masa M se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ. El eje del rodillo está atado a la pared mediante un resorte de constante k y longitud natural l₀.

Se separa el rodillo de la posición de equilibrio una distancia A y se suelta desde el reposo. El rodillo rueda sin deslizar.

1. Halle la velocidad del centro del rodillo y la velocidad angular para el instante en que su centro pasa por la posición de equilibrio.
2. ¿Cuánto vale el periodo de las oscilaciones que describe?
3. Calcule la fuerza de rozamiento estático que ejerce el suelo sobre el rodillo (a) en la posición inicial y (b) al pasar por la posición de equilibrio.
4. ¿Cuál es el máximo valor de A que se puede alejar el rodillo si no se quiere que este empiece a deslizar sobre el suelo?

5 Motocicleta en una curva

A la hora de tomar una curva, ¿de qué sirve inclinarse lateralmente?

1. Supongamos que Jorge Lorenzo toma una curva de 150 m de radio a una velocidad de 160 km/h ¿cuánto debe inclinarse en grados respecto a la vertical para no caerse ni a un lado ni al otro?
2. Es sabido que Marc Márquez es capaz de inclinarse más que otros pilotos. Si en esa misma curva Márquez se inclina 60°, ¿a qué velocidad puede pasar por la curva? ¿Cuánto debe valer como mínimo el coeficiente rozamiento estático del neumático sobre el asfalto?
3. Si en esa curva, Pedrosa intenta hacer lo mismo que Jorge y Marc, pero pisa un charco que nadie más ha visto, de forma que el coeficiente de rozamiento estático se reduce a μ = 0.5, ¿qué efecto tiene sobre la moto (a) respecto a su trayectoria (b) respecto a su inclinación?

6 Péndulo compuesto

Una barra homogénea de 1kg de masa y 1m de longitud está suspendida del techo por dos soportes muy ligeros, uno de ellos está articulado a un punto A, situado a 20cm de un extremo de la barra y el otro está articulado sin rozamiento en el otro extremo O.

1. Determine la fuerza que ejerce cada soporte en el equilibrio.
2. En un momento dado, se rompe el soporte en A. Justo tras el corte, halle:
   1. La aceleración lineal del centro de masas de la barra, G.
   2. La aceleración angular de la barra
   3. La fuerza que realiza el soporte en O. ¿Cuánto ha aumentado o disminuido respecto a la situación de equilibrio?
3. Suponga que la articulación en O es un par de revolución, de forma que solo puede moverse en el plano OXZ
   1. Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo que forma con la vertical
   2. Halle las frecuencia de las pequeñas oscilaciones que realiza cuando se suelta desde una posición próxima a la vertical.
   3. Para el caso del enunciado, que se suelta desde la posición horizontal, calcule la fuerza que ejerce el soporte en O para cada ángulo θ
4. Suponga ahora que la articulación en O es una rótula, de forma que la barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo φ alrededor de OZ.
   1. Determine las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
   2. Halle dos constantes de movimiento no triviales.
   3. Con ayuda de las constantes anteriores, halle una ecuación de movimiento para θ que no incluya a φ
   4. Calcule qué valor debe tener la velocidad angular para la que la barra gire en torno a OZ manteniendo constante su ángulo θ con la vertical.

7 Disco que rueda sobre corona

Un engranaje está formado por una cavidad circular de radio R (“sólido 1”) que se encuentra inmóvil y por cuyo perímetro interior rueda sin deslizar un disco homogéneo de masa m y radio r (sólido 2). Este disco está empujado por una varilla ideal sin masa cuyo extremo O está engranado a un eje de un motor y que está ranurada de manera que el disco 2 se halla ensartado son rozamiento en la ranura mediante un pequeño vástago de masa despreciable. Todo el sistema es horizontal por lo que no hace falta considerar el efecto del peso.

Considere un instante en el que el centro del disco se encuentra sobre el eje OY (ver figura). En ese instante la velocidad del centro G del disco 2 vale y su aceleración tangencial vale .

Para ese instante y empleando el sistema de ejes indicado en la figura (con OZ hacia afuera del papel), halle:

1. El vector velocidad angular y el vector aceleración angular del disco 2, de radio r, respecto al 1.
2. La aceleración del centro del disco 2 y la del punto A del disco 2 en contacto con el sólido 1.
3. La energía cinética del disco 2, así como su momento cinético respecto a su centro y respecto al punto O, centro del sistema.
4. Calcule las fuerzas que se ejercen sobre el disco 2 en su centro (por la varilla) y en el punto A.
5. Halle el par que ejerce el motor en O para mantener el sistema en funcionamiento.