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Partícula en anilla giratoria

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una pequeña anilla de masa m está ensartada sin rozamiento en un aro circular de masa M y radio b situado verticalmente que puede girar en torno a un diámetro vertical. Suponga que este aro se hace girar con velocidad angular constante Ω alrededor de este diámetro.

  1. Escriba la ecuación del vínculo sobre la partícula. ¿De qué tipo es?
  2. Determine la posición de los posibles puntos de equilibrio en la vertical, así como la estabilidad de éstos, en función del valor de Ω.
  3. Suponga ahora que entre la anilla y el aro existe un coeficiente de rozamiento seco μ, ¿cómo queda en ese caso la ecuación de movimiento para la anilla? Para un valor de Ω dado, ¿cuál es en ese caso el rango de posiciones verticales de equilibrio?

2 Ecuación del vínculo

La partícula está obligada a moverse sobre una línea, la cual la podemos considerar como una intersección de dos superficies:

  • Una esfera de radio b
x^2+y^2+z^2=b^2\,
o, en cilíndricas,
\rho^2+z^2 = b^2\,
o, en esféricas,
r=b\,
  • Un plano giratorio. Este plano fija la coordenada θ de cilíndricas, en
\theta=\Omega t\,
(que sería \varphi=\Omega t en esféricas). En cartesianas, sería
\frac{y}{x}=\mathrm{tg}(\Omega t)\qquad\Rightarrow\qquad -x\,\mathrm{sen}(\Omega t)+y\cos(\Omega t)=0

Este vínculo es liso, bilateral, reónomo (pues depende del tiempo) y geométrico. Al ser geométrico, es también holónomo.

3 Ecuaciones de movimiento

3.1 Coordenadas

Para describir el movimiento emplearemos la base de cilíndricas y parametrizamos la ecuación de la curva como

\rho = b\,\mathrm{sen}(\phi)\qquad\qquad \theta=\Omega t\qquad\qquad z = -b\cos(\phi)

siendo φ el ángulo con la vertical descendente. En realidad, esto equivale a usar coordenadas esféricas, pero lo haremos así para aprovechar las fórmulas de coordenadas cilíndricas, más fáciles de recordar.

Empleando la abreviatura, que usaremos en lo sucesivo

C=\cos(\phi)\qquad\qquad S=\mathrm{sen}(\phi)

estas coordenadas se escriben

\rho = b\,S\qquad\qquad \theta=\Omega t\qquad\qquad z = -b\,C

Las derivadas respecto al tiempo valen, por la regla de la cadena

\dot{\rho} = b\,\dot{\phi}\,C\qquad\qquad \dot{\theta}=\Omega \qquad\qquad \dot{z} = b\,\dot{\phi}\,S

y las segundas derivadas

\ddot{\rho} = b(\ddot{\phi}\,C-\dot{\phi}^2S)\qquad\qquad \ddot{\theta}=0 \qquad\qquad \ddot{z} = b(\ddot{\phi}\,S+\dot{\phi}^2\,C)

3.2 Velocidad y aceleración

3.2.1 Velocidad

Sustituímos en la expresión de la velocidad en cilíndricas

\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\vec{u}_\theta+\dot{z}\vec{u}_z=b\left(\dot{\phi}\,C\vec{u}_\rho+\Omega S\vec{u}_\theta+\dot{\phi}\,S\vec{u}_z\right)

3.2.2 Aceleración

De la misma manera obtenemos la aceleración. Si separamos por componentes queda, para la componente cilíndrica radial

a_\rho=\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2=b(\ddot{\phi}\,C-\dot{\phi}^2S-\Omega^2 S)

para la acimutal

a_\theta=2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}=2b\dot{\phi}\,\Omega\,C

y para la vertical

a_z=\ddot{z}=b(\ddot{\phi}\,S+\dot{\phi}^2\,C)

3.3 Fuerzas

En ausencia de rozamiento, la partícula está sometida a dos fuerzas: el peso y la reacción del aro.

A su vez, la reacción la podemos descomponer en dos partes, cada una correspondiente a una ecuación del vínculo. La primera impide que la partícula se mueva radialmente, por lo que tendrá una dirección radial respecto al centro del aro

\vec{F}_n=F_n(S\vec{u}_\rho-C\vec{u}_z)

Se puede hallar esta dirección calculando el gradiente de la ecuación del vínculo y escribiendo un vector paralelo a este gradiente.

Para la segunda ecuación tenemos una fuerza acimutal que es la que obliga a la anilla a dar vueltas con el aro

\vec{F}_\theta=F_\theta \vec{u}_\theta

Las dos cantidades Fn y Fθ son también incógnitas que habrá que determinar.

3.4 Segunda ley de Newton

Sustituyendo la aceleración y las fuerzas en la segunda ley de Newton obtenemos las ecuaciones de movimiento siguientes. Para la componente cilíndrica radial

mb(\ddot{\phi}\,C-\dot{\phi}^2S-\Omega^2 S)=F_nS

para la acimutal

2mb\dot{\phi}\,\Omega\,C=F_\theta

y para la vertical

mb(\ddot{\phi}\,S+\dot{\phi}^2\,C)=-mg-F_nC

Si multiplicamos la primera por C y la tercera por S y sumamos eliminamos la fuerza normal

mb(\ddot{\phi}\,C^2-\dot{\phi}^2SC-\Omega^2 SC)+mb(\ddot{\phi}\,S^2+\dot{\phi}^2\,CS)=-mgS

Simplificamos aquí y queda

mb(\ddot{\phi}-\Omega^2 SC)=-mgS

o, equivalentemente

\ddot{\phi}=-S\left(\frac{g}{b}-\Omega^2 C\right)

que es la ecuación de movimiento para la coordenada φ. Podemos comprobar que, en ausencia de rotación, se reduce a la ecuación del péndulo simple

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): (\Omega = 0)\qquad\qquad \ddot{\phi}=-\frac{g}{b}\sen(\phi)

4 Puntos de equilibrio

4.1 Posiciones de equilibrio

Si el aro no girara, habría solo dos posiciones de equilibrio, una en el punto más bajo y otra en el punto más alto. La primera sería estable y la segunda inestable.

La rotación del aro introduce nuevas posiciones de equilibrio. Podemos visualizarlo imaginando la acción de una fuerza centrífuga que apunta hacia el exterior, posibilitando que la anilla se quede estacionaria a una cierta altura.

Hay que señalar que en ese caso, estas posiciones serían estacionarias respecto al aro, pero no respecto a un observador exterior, el cual vería la anilla dar vueltas alrededor del eje, como el resto del aro en que se halla ensartada.

4.2 Estabilidad del equilibrio

5 Equilibrio con rozamiento

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