Caso de oscilador armónico tridimensional(GIE)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula se mueve de manera que su posición en todo momento se expresa, en las unidades fundamentales del SI, como

Para este movimiento…

1. Demuestre que:
   1. Se trata de un movimiento plano. Halle un vector unitario ortogonal al plano del movimiento.
   2. Cumple la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones. ¿Qué tipo de curva es la trayectoria que sigue la partícula?
2. ¿Entre qué valores se encuentra la distancia de la partícula al origen de coordenadas? ¿Entre qué valores se halla la rapidez de la partícula?
3. Exprese la posición, velocidad y aceleración de este movimiento en todo instante empleando las coordenadas cilíndricas y la base asociada a ellas.
4. Para el instante , halle
   1. La posición, velocidad y aceleración de la partícula.
   2. El triedro de Frenet referido a la base canónica
   3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).

2 Demostraciones

2.1 Movimiento plano

El vector de posición se puede escribir en la forma

que es de la forma

y por tanto el movimiento es plano.

Un vector ortogonal lo hallamos como el producto vectorial de los dos que definen el plano

Hallamos el unitario dividiendo por su módulo

también puede hallarse este vector como el binormal del triedro de Frenet, que se calcula más adelante.

2.2 Oscilador armónico

Derivando una vez respecto al tiempo obtenemos la velocidad

y derivando una segunda la aceleración

Esta aceleración cumple

que es la ecuación del oscilador armónico con ω = 2.

Como consecuencia, el movimiento es plano, como ya sabíamos, y la forma de la curva es una elipse.

3 Cotas de posición y velocidad

4 Expresión en cilíndricas

5 Estado en un instante