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1 Enunciado
- 1.1 Movimientos en 2D y 3D
2 Solución
- 2.1 Caso 1
- 2.2 Caso 2

1 Enunciado

1.1 Movimientos en 2D y 3D

Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes

$\vec{r}(t) = A\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}$ , con $A$ , $ω$ y $α$ constantes.
$\vec{r}(t) = At\,\vec{\imath} + Bt^2\,\vec{\jmath}$ , con $A$ y $B$ constantes.

2 Solución

2.1 Caso 1

El vector de posición puede escribirse así

$\vec{r} = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath}+\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})$

Sólo el primer factor depende del tiempo. La velocidad es

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})$

La rapidez es

$|\vec{v}| = A |\cos(\omega t)|$

El desplazamiento elemental

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}) \,\mathrm{d}t$

La aceleración es

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -A\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})$

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

$\vec{r} = \left\{ \begin{array}{l} x = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\cos\alpha\\ y = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,\alpha \end{array} \right.$

Vemos que

$\dfrac{y}{x} = \tan\alpha \Longrightarrow y = x\,\tan\alpha$

Es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente $tanα$ . Esto ya puede verse al escribir el vector de posición como una función escalar del tiempo por un vector constante