De Laplace

Contenido

1 Enunciado
- 1.1 Movimientos en 2D y 3D
2 Solución

1 Enunciado

1.1 Movimientos en 2D y 3D

Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes

$\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}$ , con $R$ y $ω$ constantes.
$\vec{r}(t) = A\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}$ , con $A$ , $ω$ y $α$ constantes.
$\vec{r}(t) = At\,\vec{\imath} + Bt^2\,\vec{\jmath}$ , con $A$ y $B$ constantes.
$\vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath}$ , con $A$ y $T$ constantes.
$\vec{r}(t) = T\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath} + h\omega t\,\vec{k}$ con $R$ , $h$

y $ω$ constantes.

2 Solución

2.1 Caso 1

La velocidad es

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = -R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}$

La rapidez es

$|\vec{v}| = R\omega$

El desplazamiento elemental

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = (-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t$

La aceleración es

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -R\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{\imath} - R\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}$

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

$\vec{r} = \left\{ \begin{array}{l} x = R\cos(\omega t) \\ y = R\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \end{array} \right.$

Vemos que

$x 2 + y 2 = R 2$

Es una circunferencia de radio $R$ centrada en el origen.

2.2 Caso 2

El vector de posición puede escribirse así

$\vec{r} = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath}+\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})$

Sólo el primer factor depende del tiempo. La velocidad es

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})$

La rapidez es

$|\vec{v}| = A |\omega\cos(\omega t)|$

El desplazamiento elemental

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}) \,\mathrm{d}t$

La aceleración es

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -A\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})$

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

$\vec{r} = \left\{ \begin{array}{l} x = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\cos\alpha\\ y = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,\alpha \end{array} \right.$

Vemos que

$\dfrac{y}{x} = \tan\alpha \Longrightarrow y = x\,\tan\alpha$

Es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente $tanα$ . Esto ya puede verse al escribir el vector de posición como una función escalar del tiempo por un vector constante

2.3 Caso 3

La velocidad es

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = A\,\vec{\imath} + 2Bt\,\vec{\jmath}$

La rapidez es

$|\vec{v}| = \sqrt{A^2 + 4B^2t^2}$

El desplazamiento elemental

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = ( A\,\vec{\imath} + 2Bt\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t$

La aceleración es

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = 2B\,\vec{\jmath}$

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

$\vec{r} = \left\{ \begin{array}{l} x = At\\ y = B t^2 \end{array} \right.$

Despejando $t$ en la primera y sustituyendo en la segunda vemos que

$y = \dfrac{B}{A^2}x^2 = Cx^2$

Es una parábola con la concavidad hacia arriba

2.4 Caso 4

La velocidad es

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = \dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,(-2Tt\,\vec{\imath} + (T^2-t^2)\,\vec{\jmath})$

La rapidez es

$|\vec{v}| = \dfrac{2AT}{T^2+t^2}$

El desplazamiento elemental

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = \dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,(-2Tt\,\vec{\imath} + (T^2-t^2)\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t$

La aceleración es

$\vec{a} = \dfrac{4AT}{(T^2+t^2)^3}\,(T(3t^2-T^2)\,\vec{\imath} + t(t^2-3T^2)\,\vec{\jmath})$

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

$\vec{r} = \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\\ \\ y = \dfrac{2ATt}{T^2+t^2} \end{array} \right.$

Tomando el cuadrado de los dos vemos que

$\begin{array}{l} x^2 = A^2\dfrac{(T^4+t^4-2T^2t^2)}{(T^2+t^2)^2}\\ \\ y^2 = A^2\dfrac{4T^2t^2}{(T^2+t^2)^2} \end{array}$

Sumando los dos

$x^2 + y^2 = A^2\dfrac{T^4+t^4+2T^2t^2}{(T^2+t^2)^2}= A^2\dfrac{(T^2+t^2)^2}{(T^2+t^2)^2}=A^2$

Es una circunferencia de radio $A$ centrada en el origen. Pero $y$ sólo puede ser positiva

$x^2+y^2=R^2\qquad y\geq0$

2.5 Caso 5

La velocidad es

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = -R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath} + h\omega\,\vec{k}$

La rapidez es

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} = \omega\sqrt{R^2+h^2}$

El desplazamiento elemental

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t = (-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath} + h\omega\,\vec{k}) \,\mathrm{d}t$

La aceleración es

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -R\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{\imath} - R\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}$

Esta es una curva tridimensional y no es fácil expresarla en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

$\vec{r} = \left\{ \begin{array}{l} x = R\cos(\omega t) \\ y = R\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \\ x = h\omega t \end{array} \right.$

Las componentes $x$ y $y$ se comportan igual que las del apartado 1. Entonces, la proyección de la trayectoria sobre el plano $O X Y$ es una circunferencia de radio $R$ centrada en el origen. Por otro lado, la componente $z$ crece linealmente con el tiempo. Es decir, a la vez que la partícula da vueltas alrededor del eje $O Z$ avanza paralelamente a él. La curva así descrita recibe el nombre de hélice.

Movimientos en 2D y 3D (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

1.1 Movimientos en 2D y 3D

2 Solución

2.1 Caso 1

2.2 Caso 2

2.3 Caso 3

2.4 Caso 4

2.5 Caso 5

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