No Boletín - Area de un triángulo (Ex.Nov/16)
De Laplace
1 Enunciado
Sea 
un triángulo de área 
, y sea 
un punto coplanario con dicho triángulo e interior al mismo.
¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
2 Solución
Empezamos examinando la igualdad (3), en la cual podemos sacar el vector 
como factor común de la suma:
Por tanto, la igualdad (3) es correcta.
Un detalle importante que conviene observar en las igualdades (1), (2) y (4) es que todos los productos vectoriales que aparecen en ellas tienen la misma dirección (perpendicular al plano del triángulo) y el mismo sentido (saliente). La importancia de este detalle radica en que, al examinar dichas igualdades, vamos a igualar el módulo de una suma vectorial con la suma de los módulos, lo cual sólo se puede hacer si todos los vectores sumados tienen la misma dirección y el mismo sentido. También vamos a utilizar la propiedad geométrica del producto vectorial que dice que "el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al doble del área del triángulo que tiene a ambos vectores como dos de sus lados".
Procedamos a examinar las igualdades (1), (2) y (4).
Por tanto, la igualdad (1) es correcta.
![\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=\underbrace{\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_1P_2)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_3P_1)}}_{2\,[Area(OP_1P_2)\,+\,Area(OP_2P_3)\,+\,Area(OP_3P_1)]}=2A](/wiki/images/math/5/b/0/5b0ec63c841f0eec24f7e7c35242632f.png)
Por tanto, la igualdad (2) es correcta.
![\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|=\underbrace{\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_1P_2)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_3P_1)}}_{2\,[Area(OP_1P_2)\,+\,Area(OP_2P_3)\,+\,Area(OP_3P_1)]}=2A](/wiki/images/math/7/c/5/7c5f57fba4b8304252f029627d7386f2.png)
Por tanto, la afirmación (4) es la que es FALSA.
