No Boletín - Area de un triángulo (Ex.Nov/16)
De Laplace
1 Enunciado
Sea 
un triángulo de área 
, y sea 
un punto coplanario con dicho triángulo e interior al mismo.
¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
2 Solución
Empezamos examinando la igualdad (3), en la cual podemos sacar el vector 
como factor común de la suma:
Por tanto, la igualdad (3) es correcta.
Un detalle importante que conviene observar antes de examinar las igualdades (1), (2) y (4) es que todos los productos vectoriales que aparecen en esas tres igualdades tienen la misma dirección (perpendicular al plano del dibujo) y el mismo sentido (saliente). La importancia de este detalle radica en que el módulo de una suma de vectores es igual a la suma de los módulos de los vectores si y sólo si todos los vectores sumados tienen la misma dirección y el mismo sentido.
También tendremos en cuenta la propiedad geométrica del producto vectorial que dice que "el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al doble del área del triángulo que tiene a ambos vectores como dos de sus lados".
A continuación, examinamos las igualdades (1), (2) y (4).
Por tanto, la igualdad (1) es correcta.
![\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_1P_2)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_3P_1)}=2[Area(OP_1P_2)+Area(OP_2P_3)+Area(OP_3P_1)]=2A](/wiki/images/math/b/e/e/bee283997a0255f8ff46acdeada39fad.png)
Por tanto, la igualdad (2) es correcta.
Por tanto, la afirmación (4) es la que es FALSA.
