No Boletín - Area de un triángulo (Ex.Nov/16)

De Laplace

1 Enunciado

Sea un triángulo de área , y sea un punto coplanario con dicho triángulo e interior al mismo.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

(1)

(2)

(3)

(4)

2 Solución

Empezamos examinando la igualdad (3), en la cual podemos sacar el vector como factor común de la suma:

Por tanto, la igualdad (3) es correcta.

Un detalle importante que conviene observar antes de examinar las igualdades (1), (2) y (4) es que todos los productos vectoriales que aparecen en esas tres igualdades tienen la misma dirección (perpendicular al plano del dibujo) y el mismo sentido (saliente). La importancia de este detalle radica en que el módulo de una suma de vectores es igual a la suma de los módulos de los vectores si y sólo si todos los vectores sumados tienen la misma dirección y el mismo sentido.

También tendremos en cuenta la propiedad geométrica del producto vectorial que dice que "el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al doble del área del triángulo que tiene a ambos vectores como dos de sus lados".