No Boletín - Area de un triángulo (Ex.Nov/16)

De Laplace

Revisión a fecha de 13:18 2 mar 2017; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Sea $P_1P_2P_3\,$ un triángulo de área $A\,$ , y sea $O\,$ un punto coplanario con dicho triángulo e interior al mismo.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

(1) $\left|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{P_2P_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}+\overrightarrow{P_3P_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|=6A\,$

(2) $\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=2A\,$

(3) $\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=0\,$

(4) $\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|=3A\,$

2 Solución

Empezamos examinando la igualdad (3), en la cual sacamos el vector $\overrightarrow{OP_1}\,$ como factor común de la suma:

$\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=\left|\overrightarrow{OP_1}\times\left(\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{P_3P_1}\right)\right|=\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_1}\right|=\left|\overrightarrow{OP_1}\times\vec{0}\right|=\left|\vec{0}\right|=0$

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