Dinámica impulsiva analítica (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 01:27 4 feb 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Impulsos generalizados
3 Ecuaciones de Lagrange impulsivas
4 Fuerzas de reacción impulsivas

1 Introducción

Al estudiar la mecánica en su formulación vectorial introducimos las fuerzas impulsivas como aquellas que era de una gran intensidad pero actuaban durante un breve periodo de tiempo. Idealmente, una fuerza impulsiva sería una de intensidad infinita que actúa durante un intervalo infinitesimal. Cuando actúa una fuerza de este tipo, se dice que el sistema ha experimentado una percusión.

Para caracterizar una fuerza impulsiva que actúa entre $t 1$ y $t 1 + Δ t$ , definimos el impulso

$\vec{P}=\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}\vec{F}\,\mathrm{d}t$

Esta cantidad mide la magnitud de la fuerza impulsiva, pero no es una fuerza, ya que se mide en N·s.

El efecto de una percusión sobre una partícula es modificar su velocidad, pero no su posición

$m\,\Delta \vec{v}=m\left(\vec{v}_+-\vec{v}_-\right)=\vec{P}\qquad\qquad \Delta\vec{r}=\vec{r}_+-\vec{r}_-=\vec{0}$

Aquí el incremento se calcula como la diferencia entre el estado justo tras la percusión menos el estado inmediatamente previo a ella.

La posición no cambia porque se trata de la integral de la velocidad en el intervalo que dura la percusión. Dado que la velocidad no se hace infinita (aunque sea casi discontínua) y el intervalo tiende a 0, resulta que esta integral se anula.

Para el caso de un sistema de partículas con percusiones en los puntos $A i$ , tenemos los análogos al teorema de la cantidad de movimiento (TCM)

$\Delta \vec{p}=m\,\Delta \vec{v}_G=\sum_i \vec{P}_i^\mathrm{ext}$

y del teorema del momento cinético

$\Delta \vec{L}_O=\sum_i \overrightarrow{OA}_i\times\vec{P}^{ext}_i$

Aquí O es cualquier punto, no necesariamente inmóvil o el CM, aunque suele aplicarse a estos dos últimos casos.

Las percusiones internas se anulan como consecuencia de la tercera ley de Newton.

Las percusiones, tanto internas como externas, pueden ser aplicadas o pueden ser de reacción vincular.

2 Impulsos generalizados

Al escribir las ecuaciones de la mecánica en términos de coordenadas generalizadas, aparecen las fuerzas generalizadas

$Q_k = \sum_i F_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

La generalización a fuerzas impulsivas es inmediata. Si consideramos que $F i$ es una fuerza impulsiva e integramos sobre la duración de la percusión resulta

$P_k = \int_{t_1}^{t_1+\Delta t}Q_k\,\mathrm{d}t=\sum_i \left(\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}\vec{F}\,\mathrm{d}t\right) \frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

A esta cantidad se la conoce como impulso generalizado. Puede corresponder a un impulso en una dirección o ser un par impulsivo que produce un giro.

3 Ecuaciones de Lagrange impulsivas

Una vez definidos los impulsos generalizados, las ecuaciones de la dinámica analítica en presencia de fuerzas impulsivas pueden escribirse de diferentes formas. Aquí solo consideraremos el caso más simple.

Las ecuacionesde Lagrange para un sistema pueden escribirse en la forma

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q_k$

Aquí $Q k$ incluye, en principio, todas las fuerzas: conservativas, no conservativas y de reacción vincular. En cada categoría, algunas pueden ser no impulsivas (actúan de forma distribuida en el tiempo, como el peso) o ser impulsiva (por ejemplo, colisiones). Separando en estas dos categorías

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q^\mathrm{imp}_k+Q^\mathrm{no\,imp}_k$

Si ahora integramos esta ecuación respecto al tiempo sobre el breve intervalo que dura la percusión, obtenemos los siguientes cuatro términos:

Para las fuerzas impulsivas

$\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}Q^\mathrm{imp}_k\,\mathrm{d}t=P_k$

Para las no impulsivas

$\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}Q^\mathrm{no\,imp}_k\,\mathrm{d}t=0$

La razón de que se anule esta integral es que estamos considerando un integrando finito (ya que las fuerzas no impulsivas, como el peso, no son infinitamente intensas, sino mucho más débiles que las impulsivas) sobre un intervalo infinitesimal.

De los términos del primer miembro, tenemos la para la derivada temporal de los momentos generalizados

$\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial\dot{q}_k}\right)\,\mathrm{d}t=\Delta\left(\frac{\partial K}{\partial\dot{q}_k}\right)$

ya que la integral de una derivada da el incremento de la función original.

Por último tenemos que

$\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}\frac{\partial K}{\partial q_k}\,\mathrm{d}t=0$

Este término se anula por la misma razón que el de las fuerzas no impulsivas. La energía cinética es una función de las coordenadas $q k$ y velocidades $\dot{q}_k$ (no de las aceleraciones). Su derivada respecto a una coordenada es otra función de las $q k$ y $\dot{q}_k$ . Ninguna de estas cantidades es infinita, aunque pueda ser discontinua. Por tanto su integral sobre un intervalo infinitesimal se anula.

Reuniendo todo esto queda finalmente

$\Delta\left(\frac{\partial K}{\partial\dot{q}_k}\right)=P_k$

es decir, lo que varía el momento generalizado es igual al impulso generalizado.

4 Fuerzas de reacción impulsivas

La presencia de vínculos provoca la aparición de fuerzas impulsivas de reacción. Éstas pueden deberse a varias causas, según el tipo de vínculo. Pueden clasificarse cuatro casos según los vínculos existan antes, durante y después de la percusión:

Vínculos preexistentes persistentes: son aquellos que existen antes, durante y después de la percusión.
Vínculos impuestos persistentes: son los que existen durante y después de la percusión, pero no antes de ella. Es lo que ocurre, por ejemplo al tensarse el hilo de un péndulo flexible.
Vínculos anulados: son los que existen antes y durante la percusión, pero no después de ella. Siguiendo con el ejemplo del péndulo, sería el caso de que se rompa la cuerda.
Vinculos impulsivos: son los que solo existen durante el tiempo que dura la percusión. Así, por ejemplo, en una colisión entre dos sólidos, durante el tiempo que dura ésta, se cumple la condición de impenetrabilidad y por tanto la velocidad normal relativa debe ser nula.

Dado que en los análisis de percusiones lo que se estudia es la relación entre el estado previo y el posterior, y no lo que ocurre durante, los vínculos impulsivos requieren algún tipo de modelo de cómo es esa colisión, ya que no es lo mismo que los sólidos se comporten como cuerpos rígidos a que sean deformables. Es por ello, que se habla de colisiones elásticas o inelásticas, como forma empírica de caracterizar la colisión sin entrar en el detalle de cómo se produce.

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