Ecuaciones de Lagrange (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 21:12 14 ene 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Ecuaciones de Euler-Lagrange
- 2.1 Dos identidades utiles
- 2.2 Deducción de las ecuaciones
3 Fuerzas conservativas
4 Coordenadas separables
5 Fuerzas de reacción vincular

1 Introducción

Al introducir las coordenadas generalizadas llegamos a que el principio de D'Alembert puede escribirse en la forma

$\sum_k(P_k-Q_k)\,\delta q_k = 0$

En el caso particular importante de que todos los vínculos sean holónomos y podamos definir 3N-r coordenadas generalizadas intependientes, cada uno de los coeficientes debe anularse por separado y obtenemos el sistema de ecuaciones

$(q_k\ \mbox{independientes})\qquad\qquad P_k=Q_k$

Aquí las cantidades $Q k$ son las fuerzas generalizadas

$Q_k = \sum_i F_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

a las que se le puede dar una interpretación relativamente simple: son las componentes (en un sentido amplio) de las fuerzas que pueden producir un cambio en la coordenada $q k$ . Si esta coordenada es cartesiana, $Q k$ representa una fuerza usual; si es un ángulo, representa el momento de una fuerza (que es el que produce un giro) y así sucesivamente.

Los términos $P k$ no tienen una interpretación inmediata. Se definen como

$P_k = \sum_i m_i\ddot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

y podemos decir que $- P k$ representa una fuerza de inercia generalizada, pero esta interpretación no aporta mucho, ya que esa fuerza de inercia requiere hallar la aceleración de las partículas, lo que es precisamente uno de los objetivos de la dinámica, por lo que no se pueden tratar como fuerzas aplicada.

En lo que sigue deduciremos expresiones alternativas para $P k$ que proporcionan un método sistemático para la determinación de estas fuerzas de inercia generalizadas que no requiera conocer la solución del problema que queremos resolver.

2 Ecuaciones de Euler-Lagrange

2.1 Dos identidades utiles

Definimos un conjunto de coordenadas generalizadas $q k$ de manera que las coordenadas cartesianas de las diferentes partículas se escriben

$x_i=x_i(q_k,t)\,$

A partir de las relaciones entre coordenadas hallamos la relación entre velocidades derivando

$\dot{x}_i=\sum_k\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial x_i}{\partial t}$

La velocidad $\dot{x}_i$ es una función de las coordenadas generalizadas, de las velocidades generalizadas y del tiempo. De la expresión anterior se deduce que

$\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}=\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

Por otro lado, si hallamos la derivada total respecto al tiempo de la derivada parcial

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{q_k}\right)=\sum_p\frac{\partial\ }{\partial q_p}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial\ }{\partial t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)$

Por las propiedades de las derivadas parciales se puede invertir el orden de cada derivada cruzada

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)=\frac{\partial \ }{\partial q_k}\left(\sum_p\frac{\partial x_i}{\partial q_p}+\frac{\partial x_i}{\partial t}\right)=\frac{\partial\ }{\partial q_k}\left(\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}\right)$

Es decir, resulta la identidad

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{q_k}\right)=\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial q_k}$

2.2 Deducción de las ecuaciones

Partimos de la definición

$P_k = \sum_i m_i \ddot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

Aplicamos la derivada de un producto

$P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)-\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)$

Sustituimos aquí las dos identidades obtenidas anteriormente

$P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}\right)-\sum_i m_i\dot{x}_i\left(\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_k}\right)$

Si introducimos aquí la energía cinética K (que en mecánica analítica se escribe casi exclusivamente como T, pero por ser consistentes con la notación de otras páginas de este curso)

$K=\frac{1}{2}\sum_i m_i\dot{x}_i^2$

la identidad anterior equivale a

$P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}$

3 Fuerzas conservativas

4 Coordenadas separables

5 Fuerzas de reacción vincular

Ecuaciones de Lagrange (CMR)

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1 Introducción

2 Ecuaciones de Euler-Lagrange

2.1 Dos identidades utiles

2.2 Deducción de las ecuaciones

3 Fuerzas conservativas

4 Coordenadas separables

5 Fuerzas de reacción vincular

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