Ángulos de Euler y de navegación
De Laplace
1 Introducción
El movimiento general de un sólido rígido posee 6 grados de libertad.
Por el teorema de Chasles, el movimiento general de un sólido puede descomponerse en una traslación de un punto seguida de una rotación del sólido alrededor de este punto (es decir, tomándolo como fijo en la rotación). Por ello, en la parametrización del movimiento de un sólido, estos 6 grados pueden descomponerse en 3 de traslación y tres de rotación.
Como grados de libertad de traslación basta dar el desplazamiento de un punto concreto del sólido (centro de reducción).
Para la rotación, en cambio, existen diferentes formas de parametrizarla, cada una con sus ventajas e inconvenientes. Así, tenemos:
- Dar directamente la matriz de rotación que pasa de un sistema de referencia ligado al sólido a uno exterior tomado como fijo. Esta matriz tiene 9 elementos sometidos a seis vínculos, lo cual multiplica el número de ecuaciones necesarias para la descripción del movimiento.
- Dar la orientación del eje de giro mediante dos ángulos (que pueden ser coordenadas esféricas, como la latitud y la longitud) y el ángulo de giro alrededor de este eje. Tiene el inconveniente, como los ángulos de Euler y otros, que requieren un abundante uso de funciones trigonométricas.
- Emplear los denominados parámetros de Euler que son un conjunto de cuatro variables, con un vínculo, que permiten representar toda matriz de rotación. Vienen a ser la generalización a 3 dimensiones de usar x e y para dar una rotación en el plano, sujetas a la condición x2 + y2 = 1. Tienen el inconveniente de que no son fáciles de visualizar, aunque computacionalmente son muy eficientes.
- Emplear otros parámetros, como los de Cailey-Klein, que representan las rotaciones como operaciones sobre números complejos.
- Escribir la rotación general como una composición de tres rotaciones individuales sobre diferentes ejes. Esta es la técnica que se usa para definir los ángulos de Euler y los ángulos de navegación (o de Tait-Bryan). la diferencia entre los de Euler y los de Tait-Bryan es que en el primer caso se repite uno de los ejes, y en el segundo los tres ejes son diferentes. Los de Euler se emplean habitualmente al estudiar un movimiento planetario o el de un sólido con un punto fijo; los de navegación a la hora de indicar un posicionamiento de una aeronave o satélite.
2 Ángulos de Euler
La idea básica a la hora de definir los ángulos de Euler consiiste en especificar las rotaciones que nos llevan desde el sistema fijo exterior (sólido “1”) hasta un sistema ligado al sólido (sólido “4”).
