Oscilaciones acopladas (CMR)
De Laplace
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1 Introducción
En un sistema real existen diferentes mecanismos que producen oscilaciones, siendo raro que se pueda describir un sólido real como un solo oscilador armónico. Esas diferentes formas de oscilación (modos) pueden superponerse y si son no lineales, incluso afectarse mutuamente.
En la respuesta a una excitación oscilante, un sistema real puede mostrar diferentes frecuencias de resonancia, según el modo que se excite.
Consideremos, como ejemplo sencillo, el caso de dos masas m1 y m2 de las cuales la primera está unida a una pared por un resorte horizontal de constante k1 y la segunda a la primera por uno de constante k2.
Es fácil ver que este sistema puede tener conductas muy diferentes dependiendo de los valores de los parámetros.
- Si
el primer muelle se convierte en una varilla rígida y no deja moverse a la primera masa.
- Si
es el segundo muelle el que se comporta como una barra y las dos masas se mueven al únisono.
- Si
la inercia de la primera masa le impide moverse.
- Si
los dos resortes en serie se comportan como uno solo.
Este caso posee una solución general que se puede hallar de forma sistemática, como veremos, pero que no es trivial. Consideraremos previamente un sistema más sencillo para ilustrar los aspectos principales.
2 Sistema simétrico
Supongamos dos masa iguales, m, situadas sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unidas a paredes enfrentadas que distan b por resortes también iguales de constante k y longitud natural l0. Las dos masas están unidas entre si por otro resorte de constante K y longitud natural L0.
Se trata de estudiar la dinámica de este sistema para distintos valores de las constantes y diferentes condiciones iniciales.
2.1 Ecuaciones de movimiento
Puesto que el movimiento es a lo largo de la recta que une las dos masas, podemos prescindir de los vectores y emplear magnitudes escalares.
La masa de la izquierda (masa 1) experimenta una fuerza por cada resorte conectada a ella, de forma que
y de manera análoga ocurre con la masa 2
2.2 Posición de equilibrio
En primer lugar determinamos las posiciones de equilibrio de las dos masas. Para ello suponemos que se anulan las aceleraciones y queda el sistema
