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Momento cinético de un sistema de partículas (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Definición

1.1 Momento cinético respecto a un punto fijo

De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas respecto a un punto fijo O como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

\vec{L}_0=\sum_i m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i=\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{v}_i

1.2 Cambio del centro de reducción

Si en lugar de un punto fijo O calculamos el momento cinético respectoa otro punto A, la relación entre ambas cantidades es la misma que para una sola partícula

\vec{L}_A=\vec{L}_O+\vec{p}\times\overrightarrow{OA}

donde ahora \vec{p} es la cantidad de movimiento del sistema completo.

En el caso particular de que O sea la posición instantánea del CM esta ecuación queda

\vec{L}_A=\vec{L}_G + \vec{p}\times\overrightarrow{GA}=M\overrightarrow{AG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G

ya que

\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{GA}\qquad\qquad\vec{p}=M\vec{v}_G

2 =Momento cinético respecto a un punto móvil

El punto O de referencia puede tener movimiento propio (un ejemplo típico es el centro de masas). En ese caso, podemos considerar las velocidades relativas a un sistema de referencia que se traslada con el punto.

El momento cinético relativo a este punto móvil será igual a

\vec{L}^{\,''}_O=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times \vec{v}^{\,,}_i=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times (\vec{v}_i-\vec{v}_O)

El momento cnético relativo se relaciona con el absoluto como

L\vec{L}_O=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times \vec{v}_i=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times (\vec{v}_i-\vec{v}_O)+\left(\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\right)\times\vec{v}_O =\vec{L}^{\,,}_O+M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_O

Como caso particular importante de punto móvil tenemos el centro de masas. Para este punto se cumple que

\vec{L}_G=\vec{L}^{\,,}_G\qquad\qquad (\overrightarrow{GG}=\vec{0})

es decir, para el centro de masas es indiferente que lo tratemos como punto fijo o como punto móvil.

3 Teorema de König. Descomposición del momento angular

Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como la cantidad de movimiento, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Antes hemos relacionado el momento cinético respecto a un punto fijo con el obtenido respecto al CM pero suponiendo que éste es también un punto fijo. Dado que en realidad se trata de un punto móvil, es adecuado tener en cuenta la velocidad relativa a este punto.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centro de masas más la posición o velocidad relativas

\overrightarrow{OP}_i=\vec{r}_i = \vec{r}_G+\vec{r}^{\,,}_i=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GP}_i\qquad\qquad \vec{v}_i = \vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i\,

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

\vec{L}_i = m_i(\vec{r}_G+\vec{r}^{\,,}_i)\times( \vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i)= m_i\vec{r}_G\times\vec{v}_G+m_i\vec{r}^{\,,}_i\times \vec{v}_G+m_i\vec{r}_G\times\vec{v}^{\,,}_i+m_i\vec{r}^{\,,}_i\times\vec{v}^{\,,}_i

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice i

\vec{L}^{\,,}_O = M\vec{r}_G\times\vec{v}_G +\left(\sum_im_i\vec{r}^{\,,}_i\right)\times\vec{v}_G + \vec{r}_G\times\left(\sum_im_i\vec{v}^{\,,}_i\right)+\left(\sum_im_i\vec{r}^{\,,}_i\times\vec{v}^{\,,}_i\right)

El segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan ya que

\sum_i m_i \vec{r}^{\,,}_i=\sum_i m_i \overrightarrow{GP}_i=\overrightarrow{GG}=\vec{0}\qquad \qquad \sum_i m_i \vec{v}^{\,,}_i=\vec{v}^{\,,}_G=\vec{0}

y la expresión se reduce a

\vec{L}_O= M\vec{r}_G\times\vec{v}_G+\vec{L}_G

donde

\vec{L}_G= m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_2\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2+\cdots

es el momento cinético relativo al centro de masas considerado como punto móvil (o como punto fijo, ya que para el CM es lo mismo).

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular intrínseco), que sería \vec{L}'.

4 Evolución del momento cinético

4.1 Para un punto fijo O

Derivando en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_{1O}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{L}_{2O}}{\mathrm{d}t} + \cdots

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_{iO}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\vec{v}_i + m_i\vec{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\vec{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\vec{v}_i\times\vec{v}_i}^{=\vec{0}} + \vec{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \vec{r}_i\times\vec{F}_i

y, para el momento cinético total

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\vec{F}_1+\vec{r}_2\times\vec{F}_2+\cdots

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\left(\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \vec{r}_2\times\left(\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots

Las fuerzas newtonianas, que verifican la tercera ley de Newton, no solo cumplen que son iguales y opuestas, sino que además van en la dirección de la recta que une las dos partículas

\vec{F}_{1\to 2}=-\vec{F}_{2\to 1}\qquad\qquad (\vec{r}_2-\vec{r}_1)\times\vec{F}_{1\to 2}=\vec{0}

Combinando las dos ecuaciones queda

\vec{0}= -\vec{r}_1\times\vec{F}_{1\to 2}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{1\to 2}= \vec{r}_1\times\vec{F}_{2\to 1}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{1\to 2}

esto es, los momentos de las fuerzas internas se anulan mutuamente. Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots

En palabras:

  • La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.

4.2 Para un punto móvil

Supongamos que el centro de reducción posee movimiento propio (es decir, en cada instante hallamos el momento respecto a un punto diferente). En ese caso, según hemos visto tenemos dos posibles definiciones de momento cinético, según si usamos las velocidad absolutas, \vec{L}_O o las relativas \vec{L}^{\,,}_O. Cada una de estas cantidades obedece una ley de evolución diferente, por lo que hay que ser cuidadoso con ellas.

4.3 =Momento cinético absoluto

Cuando el propio punto O se mueve, la derivada de la posición relativa es la velocidad relativa

\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_P-\vec{v}_O

por ello, a la hora de dervar obtenemos

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\sum_i m_i \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}_i}{\mathrm{d}t}\times\vec{v}_i+\sum_i m_i\overrightarrow{OP}_i\times \vec{a}_i= \vec{M}_O-M\vec{v}_O\times\vec{v}_G+

5 Teorema de conservación del momento cinético

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Momento_cin%C3%A9tico_de_un_sistema_de_part%C3%ADculas_(CMR)"

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