Momento cinético de un sistema de partículas (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 11:16 2 oct 2016; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Definición
- 1.1 Momento cinético respecto a un punto fijo
- 1.2 Cambio del centro de reducción
2 =Momento cinético respecto a un punto móvil
3 Teorema de König. Descomposicióndel momento angular
4 Evolución del momento cinético

1 Definición

1.1 Momento cinético respecto a un punto fijo

De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas respecto a un punto fijo O como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

$\vec{L}_0=\sum_i m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i=\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{v}_i$

1.2 Cambio del centro de reducción

Si en lugar de un punto fijo O calculamos el momento cinético respectoa otro punto A, la relación entre ambas cantidades es la misma que para una sola partícula

$\vec{L}_A=\vec{L}_O+\vec{p}\times\overrightarrow{OA}$

donde ahora $\vec{p}$ es la cantidad de movimiento del sistema completo.

En el caso particular de que O sea la posición instantánea del CM esta ecuación queda

$\vec{L}_A=\vec{L}_G + \vec{p}\times\overrightarrow{GA}=M\overrightarrow{AG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G$

ya que

$\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{GA}\qquad\qquad\vec{p}=M\vec{v}_G$

2 =Momento cinético respecto a un punto móvil

El punto O de referencia puede tener movimiento propio (un ejemplo típico es el centro de masas). En ese caso, podemos considerar las velocidades relativas a un sistema de referencia que se traslada con el punto.

3 Teorema de König. Descomposicióndel momento angular

Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como la cantidad de movimiento, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Antes hemos relacionado el momento cinético respecto a un punto fijo con el obtenido respecto al CM pero suponiendo que éste es también un punto fijo. Dado que en realidad se trata de un punto móvil, es adecuado tener en cuenta la velocidad relativa a este punto.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centro de masas más la posición o velocidad relativas

$\overrightarrow{OP}_i=\vec{r}_i = \vec{r}_G+\vec{r}^{\,,}_i=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GP}_i\qquad\qquad \vec{v}_i = \vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i\,$

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

$\vec{L}_i = m_i(\vec{r}_G+\vec{r}^{\,,}_i)\times( \vec{v}_G+\vec{v}^{\,,}_i)= m_i\vec{r}_G\times\vec{v}_G+m_i\vec{r}^{\,,}_i\times \vec{v}_G+m_i\vec{r}_G\times\vec{v}^{\,,}_i+m_i\vec{r}^{\,,}_i\times\vec{v}^{\,,}_i$

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice $i$

$\vec{L}_O = M\vec{r}_G\times\vec{v}_G +\left(\sum_im_i\vec{r}^{\,,}_i\right)\times\vec{v}_G + \vec{r}_G\times\left(\sum_im_i\vec{v}^{\,,}_i\right)+\left(\sum_im_i\vec{r}^{\,,}_i\times\vec{v}^{\,,}_i\right)$

El segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan ya que

$\sum_i m_i \vec{r}^{\,,}_i=\sum_i m_i \overrightarrow{GP}_i=\overrightarrow{GG}=\vec{0}\qquad \qquad \sum_i m_i \vec{v}^{\,,}_i=\vec{v}^{\,,}_G=\vec{0}$

y la expresión se reduce a

$\vec{L}= M\vec{r}_G\times\vec{v}_G+\vec{L}_G$

donde

$\vec{L}_G= m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_2\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2+\cdots$

es el momento cinético relativo al centro de masas considerado como punto móvil.

Vemos que en el caso de que el punto de referencia sea el CM el resultado es el mismo si consideramos G como punto fijo o como punto móvil.

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular intrínseco), que sería $\vec{L}'$ .

4 Evolución del momento cinético

Derivando igualmente en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_{1O}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{L}_{2O}}{\mathrm{d}t} + \cdots$

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_{iO}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\vec{v}_i + m_i\vec{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\vec{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\vec{v}_i\times\vec{v}_i}^{=\vec{0}} + \vec{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \vec{r}_i\times\vec{F}_i$

y, para el momento cinético total

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\vec{F}_1+\vec{r}_2\times\vec{F}_2+\cdots$

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\left(\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \vec{r}_2\times\left(\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots$

Las fuerzas newtonianas, que verifican la tercera ley de Newton, no solo cumplen que son iguales y opuestas, sino que además van en la dirección de la recta que une las dos partículas

$\vec{F}_{1\to 2}=-\vec{F}_{2\to 1}\qquad\qquad (\vec{r}_2-\vec{r}_1)\times\vec{F}_{1\to 2}=\vec{0}$

Combinando las dos ecuaciones queda

$\vec{0}= -\vec{r}_1\times\vec{F}_{1\to 2}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{1\to 2}= \vec{r}_1\times\vec{F}_{2\to 1}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{1\to 2}$

esto es, los momentos de las fuerzas internas se anulan mutuamente. Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots$

En palabras:

La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.

En particular, en un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas, el momento angular permanece constante.

Momento cinético de un sistema de partículas (CMR)

De Laplace

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1 Definición

1.1 Momento cinético respecto a un punto fijo

1.2 Cambio del centro de reducción

2 =Momento cinético respecto a un punto móvil

3 Teorema de König. Descomposicióndel momento angular

4 Evolución del momento cinético

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