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No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, \,AB\, (sólido "2") y \,OD\, (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud \,2a,\, y contenidas siempre en el plano fijo \,OXY\, (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro \,C(a,0)\, y la segunda en su extremo \,O(0,0).\, Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla \,OD\, posee una acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo \,A\, de la varilla \,AB.\, Se utiliza el ángulo \,\theta ,\, formado por la varilla \,AB\, y el eje \,OX,\, como parámetro descriptivo del movimiento del sistema.

Nota: Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles \,OAC\, de la figura, se puede determinar (en función de \,\theta\,) el ángulo formado por la varilla \,OD\, y el eje \,OX,\, o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad angular \,\vec{\omega}_{20}\,
  2. Velocidad \,\vec{v}^{\, O} _{20}\,
  3. Vector de posición \,\overrightarrow{OI_{20}}\, del centro instantáneo de rotación del movimiento \,\{20\}\,

2 Velocidad angular del movimiento {20}

Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles \,OAC\, sea \,\pi\, radianes, determinamos el ángulo \,\beta\, (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:

2\,\beta+\theta=\pi\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}

Al ser \,\beta\, el ángulo que forma la varilla \,AB\, (sólido "2") con respecto a la varilla \,OD\, (sólido "0"), la velocidad angular \,\vec{\omega}_{20}\, puede expresarse así:

\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}

donde el signo negativo se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo \,\beta\, que forma la varilla "2" con respecto a la varilla "0" aumenta (\dot{\beta}>0\,), la rotación \,\{20\}\, es horaria (\,\vec{\omega}_{20}\, negativa en \,\vec{k}\,). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, cabe resumir la justificación del signo menos en la necesidad de garantizar la siguiente correspondencia:

\begin{array}{lll} \mathrm{si}\,\,\dot{\beta}>0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0 \\ \\ \mathrm{si}\,\,\dot{\beta}<0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}>0 \end{array}

introducido garantiza que si \dot{\beta}>0\,

\vec{\omega}_{01}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}=-\frac{\mathrm{d}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}

Una vez conocidas \,\vec{\omega}_{21}\, y \,\vec{\omega}_{01}\,, la velocidad angular \vec{\omega}_{20}\, se puede determinar mediante la ley de composición de velocidades angulares:

\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}-\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}

3 Velocidad {20} del punto O

-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}\,

4 Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}

2a\,\vec{\imath}\,

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Dos_varillas_(Ex.Ene/16)"

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