No Boletín - Bola en canal rectilíneo (Ex.Sep/15)

De Laplace

1 Enunciado

Una bola (sólido "2") de radio se desplaza sobre dos carriles rectilíneos paralelos fijos (sólido "1") separados entre sí una distancia . El movimiento de la bola es tal que: i) en todo instante rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad . Llamamos y respectivamente a los puntos de contacto entre la bola y cada uno de los carriles, y definimos el triedro fijo de la figura.

1. Determine el eje instantáneo de rotación del movimiento
2. Calcule la aceleración instantánea

2 Eje instantáneo de rotación

Se nos dice que la bola (sólido "2") rueda sin deslizar sobre ambos carriles (sólido "1") en todo instante. La condición de no deslizamiento implica la nulidad de las velocidades instantáneas de los dos puntos de contacto y , lo que a su vez conlleva la pertenencia de dichos puntos al eje instantáneo de rotación:

Así pues, el eje instantáneo de rotación del movimiento es la recta que pasa por los puntos y

3 Aceleración instantánea del punto A

Se nos dice también que el centro de la bola realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad . Esto implica que dicho punto tiene velocidad constante en el tiempo y, por tanto, aceleración nula:

Nótese que la dirección de (paralela al eje ) viene obligada por la elección del triedro de la figura, mientras que su sentido no queda especificado en el enunciado y nosotros lo hemos elegido arbitrariamente (sentido positivo del eje ) en la confianza de que dicha elección no puede influir en el valor de la magnitud que se solicita.

Exigiendo que las velocidades de los puntos y satisfagan la ecuación del campo de velocidades, calcularemos la velocidad angular de la bola (cuya dirección conocemos a priori por su obligado paralelismo al eje instantáneo de rotación anteriormente determinado):

Dado que este mismo valor de puede obtenerse de forma idéntica para cada instante de tiempo, llegamos a la conclusión de que es constante en el tiempo y que, por tanto, la aceleración angular de la bola es nula: