No Boletín - Bola en canal rectilíneo (Ex.Sep/15)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:24 10 mar 2016; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Una bola (sólido "2") de radio $R\,$ se desplaza sobre dos carriles rectilíneos paralelos fijos (sólido "1") separados entre sí una distancia $R\,$ . El movimiento de la bola es tal que: i) en todo instante rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro $C\,$ realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad $v\,$ . Llamamos $A\,$ y $B\,\,$ respectivamente a los puntos de contacto entre la bola y cada uno de los carriles, y definimos el triedro fijo $\,O_1X_1Y_1Z_1\,$ de la figura.

Determine el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}.\,$
Calcule la aceleración instantánea $\,\vec{a}^{\, A}_{21}.\,$

2 Eje instantáneo de rotación

Se nos dice que la bola (sólido "2") rueda sin deslizar sobre ambos carriles (sólido "1") en todo instante. La condición de no deslizamiento implica la nulidad de las velocidades instantáneas de los dos puntos de contacto $\,A\,$ y $\,B\,$ , lo que a su vez conlleva la pertenencia de dichos puntos al eje instantáneo de rotación:

$\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, A,B\in\mathrm{E.I.R.}\{21\}$

Así pues, el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\!$ es la recta que pasa por los puntos $A\,$ y $B.\,$

3 Aceleración instantánea del punto A

Se nos dice también que el centro $\,C\,$ de la bola realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad $v\,$ . Esto implica que dicho punto $\,C\,$ tiene velocidad constante en el tiempo y, por tanto, aceleración nula:

$\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, C}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}v\,\vec{\imath}_1}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}$

Calcularemos primero la velocidad angular $\,\vec{\omega}_{21}\,$