No Boletín - Area de un paralelogramo (Ex.Oct/15)

De Laplace

Revisión a fecha de 02:01 7 mar 2016; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Si $\,\vec{a}\,\,$ y $\,\vec{b}\,\,$ son dos vectores libres que forman un ángulo $\theta\,$ (siendo $0<\theta<\pi\,\,\mathrm{rad}\,$ ), ¿cuánto vale el área del paralelogramo que tiene por lados a los vectores $\,\vec{a}+\vec{b}\,\,$ y $\,\vec{a}-\vec{b}\,\,$ ?

2 Solución

Una de las propiedades geométricas estudiadas del producto vectorial permite afirmar que el área $A\,$ del paralelogramo que tiene por lados a los vectores $\,\vec{a}+\vec{b}\,\,$ y $\,\vec{a}-\vec{b}\,\,$ es igual a:

$A=|(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}-\vec{b})|$

Y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, queda:

$A=|\underbrace{\vec{a}\times\vec{a}}_{=\,\vec{0}}-\,\vec{a}\times\vec{b}+\underbrace{\vec{b}\times\vec{a}}_{=\,-\vec{a}\times\vec{b}}-\underbrace{\vec{b}\times\vec{b}}_{=\,\vec{0}}|=|\!-2\,\vec{a}\times\vec{b}\,|=2|\,\vec{a}\,||\,\vec{b}\,|\,\mathrm{sen}(\theta)$

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