Barra articulada sobre muelle Enero 2015 (MR G.I.C.)

De Laplace

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Reducción cinemática

1 Enunciado

En el sistema de la figura, la barra delgada homogénea $O A$ (sólido "2"), de masa $m$ y longitud $L$ , está articulada en el punto $O$ . El punto $O$ puede moverse sobre el eje fijo $O 1 Z 1$ , y está conectado a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $L$ . El muelle siempre permanece vertical. La barra "2" está siempre contenida en el plano $O 1 X 0 Z 0$ , como se indica en la figura.

Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en los puntos $O$ y $G$ .
Calcula el momento cinético de la barra "2" en $O$ y $G$ ( $\vec{L}_O$ , $\vec{L}_G$ ).
Calcula la energía cinética de la barra "2".
Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. escribe las ecuaciones de movimiento del sistema.
Escribe todas las integrales primeras del movimiento que puedas encontrar.

2 Solución

2.1 Reducción cinemática

2.1.1 Movimiento {01}

El punto $O 1$ pertenece al sólido "0" y está siempre en reposo respecto al sólido "1". Por tanto

$\vec{v}_{01}^{\,O_1}=\vec{0}$

Para el vector rotación tenemos

$\vec{\omega}_{01} = \dot{\psi}\,\vec{k}_{0,1}$

2.1.2 Movimiento {20}

De este movimiento realmente sólo nos interesa su vector rotación. El movimiento {20} es un movimiento plano, pues el plano $O X 2 Z 2$ coincide siempre con el plano $O 1 X 0 Z 0$ . El eje de rotación es perpendicular a este plano, es decir, paralelo al eje $Y_2\parallel Y_0$ . El eje $X 2$ forma el ángulo $φ$ con el eje $X 0$ , por tanto en el vector $\vec{\omega}_{20}$ aparece $\dot{\phi}$ . ¿Pero con qué signo? Cuando el vector $\vec{\omega}_{20}$ apunta en el sentido positivo del eje $Y 0$ la rotación correspondiente hace aumentar el ángulo, por lo que $\dot{\phi}>0$ . Para que el sentido del vector y el signo de la derivada sean coherentes tenemos que poner

$\vec{\omega}_{20}=\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0$

Señalemos que la flecha indicando el sentido del ángulo no influye en el signo que hay que poner. Lo importante es el signo de la derivada del ángulo.