Ejemplo de movimiento armónico tridimensional
De Laplace
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1 Enunciado
Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones
![\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}](/wiki/images/math/f/2/a/f2a22c44c67d467642985afdcbae2235.png)
siendo su posición y velocidad iniciales
![\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}](/wiki/images/math/7/c/0/7c0810fc051d03567b5d5b6703402813.png)
- Calcule la posición, velocidad y aceleración de la partícula en todo instante.
- Para el instante t = 0 halle:
- El triedro de Frenet:
.
- Las componentes intrínsecas de la aceleración (en forma escalar y vectorial).
- La posición del centro de curvatura.
- El triedro de Frenet:
- Empleando coordenadas cilíndricas y su base asociada:
- Escriba las ecuaciones horarias
.
- Escriba los vectores de posición, velocidad y aceleración como función del tiempo.
- Escriba las ecuaciones horarias
- Identifique este movimiento: ¿Es plano? ¿Es rectilíneo? ¿Es uniforme? ¿Cómo es la trayectoria? Justifique las respuestas.
2 Posición, velocidad y aceleración
2.1 Posición
En un oscilador armónico tridimensional, la solución general para la posición es de la forma
![\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)](/wiki/images/math/4/a/c/4ac641f03b9721a148b25bdbf80b8d64.png)
Sustituimos los datos del enunciado y queda
![\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t)
= 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}](/wiki/images/math/7/c/d/7cde4e558dacd76b0fc33133ba94137b.png)
2.2 Velocidad
Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo
![\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=4h\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}](/wiki/images/math/2/6/e/26e2a20afc3abcd2982c248d65c651a8.png)
2.3 Aceleración
Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico
![\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}=-4h\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega^2\cos(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}](/wiki/images/math/9/3/b/93b1b1a8ed5de8b2c950d7a482739ece.png)
3 Estado en t=0
Para analizar el estado en t = 0 no necesitamos el apartado anterior, ya que el enunciado nos da la posición
![\vec{r}(t=0)=\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}](/wiki/images/math/2/4/8/248322c5bd00408c7dd12d9b6d3d6bff.png)
la velocidad
![\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}](/wiki/images/math/8/1/b/81ba9280181a54d5aebbd72f94ece980.png)
y la aceleración
![\vec{a}(t=0)=-\omega^2\vec{r}_0=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}](/wiki/images/math/a/6/4/a6401101155eeb6e7f329a7ce6cef211.png)
3.1 Triedro de Frenet
3.1.1 Vector tangente
Es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad
![\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{4h\omega\vec{\imath}}{4h\omega}=\vec{\imath}](/wiki/images/math/2/6/0/26062aa1f9628a2f384c80cf2eb73817.png)
3.1.2 Vector normal
Es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal. En este instante tenemos que la aceleración es perpendicular a la velocidad
![\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\right)\cdot\left(4h\omega\vec{\imath}\right)=0](/wiki/images/math/a/2/3/a2336df20a7318483361c74d13bdb747.png)
por lo que toda la aceleración es normal, siendo su módulo
![\vec{a}_n=\vec{a}\qquad |\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2](/wiki/images/math/f/c/2/fc2a7f38d573b6617c8d211a66e78279.png)
lo que da el vector normal
![\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}}{5h\omega^2}=-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}](/wiki/images/math/8/4/a/84abb32889a1b45560b86fda9477d0f5.png)
3.1.3 Vector binormal
Es el producto vectorial de los dos anteriores
![\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{\imath}\times\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{3}{5}\vec{\jmath}-\frac{4}{5}\vec{k}](/wiki/images/math/0/4/3/043cb04928f212744a0cb886132f25f9.png)
También podía hallarse directamente como
![\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}](/wiki/images/math/6/3/0/630f2cdda9817364113025c7d866ab1f.png)
3.2 Componentes de la aceleración
3.2.1 Tangencial
Según hemos visto, en este instante la aceleración es ortogonal a la velocidad, por lo que no tiene componente tangencial
![\vec{a}_t=\vec{0}\qquad\qquad a_t=0](/wiki/images/math/e/f/4/ef4998d6253302311f3cd605da0db919.png)
3.2.2 Normal
Al ser nula la aceleración tangencial en este instante, la aceleración normal es toda la aceleración
![\vec{a}_n=\vec{a}=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\qquad \qquad a_n=|\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2](/wiki/images/math/4/e/0/4e02f5f18068d3854841a06185aca7f9.png)
3.3 Radio y centro de curvatura
El radio de curvatura en este instante es igual a
![R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{16h^2\omega^2}{5h\omega^2}=\frac{16}{5}h](/wiki/images/math/0/f/1/0f1fdb802e513001806db9eef6770509.png)
y el centro de curvatura
![\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)+\frac{16}{5}h\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{36}{25}h\vec{\jmath}+\frac{27}{25}h\vec{k}](/wiki/images/math/e/2/f/e2f3e865281e2862c8418bac0db8bafd.png)