Ejemplo de movimiento armónico tridimensional

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones

$\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}$

siendo su posición y velocidad iniciales

$\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}$

Calcule la posición, velocidad y aceleración de la partícula en todo instante.
Para el instante t = 0 halle:
1. El triedro de Frenet: $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}$ .
2. Las componentes intrínsecas de la aceleración (en forma escalar y vectorial).
3. La posición del centro de curvatura.
Empleando coordenadas cilíndricas y su base asociada:
1. Escriba las ecuaciones horarias $\{\rho(t),\varphi(t),z(t)\}$ .
2. Escriba los vectores de posición, velocidad y aceleración como función del tiempo.
Identifique este movimiento: ¿Es plano? ¿Es rectilíneo? ¿Es uniforme? ¿Cómo es la trayectoria? Justifique las respuestas.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Posición

En un oscilador armónico tridimensional, la solución general para la posición es de la forma

$\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)$

Sustituimos los datos del enunciado y queda

$\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t) = 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}$

2.2 Velocidad

Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=4h\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}$

2.3 Aceleración

Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico

$\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}=-4h\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega^2\cos(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}$

3 Estado en t=0

Para analizar el estado en $t = 0$ no necesitamos el apartado anterior, ya que el enunciado nos da la posición

$\vec{r}(t=0)=\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}$

la velocidad

$\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}$

y la aceleración

$\vec{a}(t=0)=-\omega^2\vec{r}_0=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}$

3.1 Triedro de Frenet

3.1.1 Vector tangente

Es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{4h\omega\vec{\imath}}{4h\omega}=\vec{\imath}$

3.1.2 Vector normal

Es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal. En este instante tenemos que la aceleración es perpendicular a la velocidad

$\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\right)\cdot\left(4h\omega\vec{\imath}\right)=0$

por lo que toda la aceleración es normal, siendo su módulo

$\vec{a}_n=\vec{a}\qquad |\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2$

lo que da el vector normal

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}}{5h\omega^2}=-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}$

3.1.3 Vector binormal

Es el producto vectorial de los dos anteriores

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{\imath}\times\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{3}{5}\vec{\jmath}-\frac{4}{5}\vec{k}$

También podía hallarse directamente como

$\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}$

3.2 Componentes de la aceleración

3.2.1 Tangencial

Según hemos visto, en este instante la aceleración es ortogonal a la velocidad, por lo que no tiene componente tangencial

$\vec{a}_t=\vec{0}\qquad\qquad a_t=0$

3.2.2 Normal

Al ser nula la aceleración tangencial en este instante, la aceleración normal es toda la aceleración

$\vec{a}_n=\vec{a}=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\qquad \qquad a_n=|\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2$

3.3 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura en este instante es igual a

$R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{16h^2\omega^2}{5h\omega^2}=\frac{16}{5}h$

y el centro de curvatura

$\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)+\frac{16}{5}h\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{36}{25}h\vec{\jmath}+\frac{27}{25}h\vec{k}$

4 Expresión en cilíndricas

4.1 Coordenadas

Si separamos la posición instantánea en sus componentes cartesianas nos queda

$\left\{\begin{array}{rcl}x & = & 4h\,\mathrm{sen}(\omega t) \\ y & = & 4h\cos(\omega t) \\ z & = & 3h\cos(\omega t)\end{array}\right.$

La coordenada radial $ρ$ es la distancia al eje Z

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=4h$

Esta distancia es constante, ya que la proyección en el plano XY describe un movimiento circular.

Para la coordenada acimutal tenemos

$\mathrm{tg}(\varphi)=\frac{y}{x}=\frac{\cos(\omega t)}{\mathrm{sen}(\omega t)}=\mathrm{cotg}(\omega t)\qquad\Rightarrow\qquad \varphi= \frac{\pi}{2}-\omega t$

ya que la cotangente es la tangente del complementario.

Por último la coordenada vertical es la misma que en cartesianas

$z = 3h\cos(\omega t)\,$

Inversamente, el paso de cilíndricas a cartesianas es

$x = \rho\cos(\varphi)\qquad\qquad y=\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)\qquad\qquad z = z$

y comparando esta expresión con la de este movimiento concreto es claro que la coordenada radial es constante y que el ángulo $\varphi$ va como el complementario de $ω t$ (ya que se intercambia el seno por el coseno).

4.2 Vectores

4.2.1 Posición

La expresión del vector de posición en cilíndricas es

$\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}$

que en este caso queda

$\vec{r}=4h\vec{u}_\rho+3h\cos(\omega t)\vec{k}$

4.2.2 Velocidad

La expresión para la velocidad es

$\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\dot{z}\vec{k}$

que en este caso, al ser la coordenada radial constante

$\vec{v}=-4h\omega\vec{u}_\varphi-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}$

4.2.3 Aceleración

Recurriendo de nuevo a la ecuación del oscilador armónico nos ahorramos escribir la expresión general en cilíndricas.

$\vec{a}=-\omega^2\vec{r}=-4h\omega^2\vec{u}_\rho-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}$

5 Descripción del movimiento

Este es un movimiento plano, ya que se puede escribir como combinación lineal de dos vectores

$\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)$

No es rectilíneo ya que según hemos visto su aceleración normal no es nula.

Tampoco es uniforme, ya que su rapidez no es constante. Si hallamos esta en general queda

$|\vec{v}|=\sqrt{16h^2\omega^2+9h^2\omega^2\mathrm{sen}^2(\omega t)}$

La forma de la trayectoria es una elipse como corresponde a la solución general del oscilador armónico tridimensional

Se puede ver también que es una elipse porque se trata de la intersección de un cilindro con un plano oblícuo

$x^2+y^2 = (4h)^2\qquad 3y - 4z = 0\,$

Ejemplo de movimiento armónico tridimensional

De Laplace

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