Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Ejemplo de movimiento armónico tridimensional

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones

\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}

siendo su posición y velocidad iniciales

\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}
  1. Calcule la posición, velocidad y aceleración de la partícula en todo instante.
  2. Para el instante t = 0 halle:
    1. El triedro de Frenet: \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}.
    2. Las componentes intrínsecas de la aceleración (en forma escalar y vectorial).
    3. La posición del centro de curvatura.
  3. Empleando coordenadas cilíndricas y su base asociada:
    1. Escriba las ecuaciones horarias \{\rho(t),\varphi(t),z(t)\}.
    2. Escriba los vectores de posición, velocidad y aceleración como función del tiempo.
  4. Identifique este movimiento: ¿Es plano? ¿Es rectilíneo? ¿Es uniforme? ¿Cómo es la trayectoria? Justifique las respuestas.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Posición

En un oscilador armónico tridimensional, la solución general para la posición es de la forma

\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

Sustituimos los datos del enunciado y queda

\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t) = 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}

2.2 Velocidad

Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=4h\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}

2.3 Aceleración

Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico

\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}=-4h\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega^2\cos(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}

3 Estado en t=0

Para analizar el estado en t = 0 no necesitamos el apartado anterior, ya que el enunciado nos da la posición

\vec{r}(t=0)=\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}

la velocidad

\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}

y la aceleración

\vec{a}(t=0)=-\omega^2\vec{r}_0=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}

3.1 Triedro de Frenet

3.1.1 Vector tangente

Es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{4h\omega\vec{\imath}}{4h\omega}=\vec{\imath}

3.1.2 Vector normal

Es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal. En este instante tenemos que la aceleración es perpendicular a la velocidad

\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\right)\cdot\left(4h\omega\vec{\imath}\right)=0

por lo que toda la aceleración es normal, siendo su módulo

\vec{a}_n=\vec{a}\qquad |\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2

lo que da el vector normal

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}}{5h\omega^2}=-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}

3.1.3 Vector binormal

Es el producto vectorial de los dos anteriores

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{\imath}\times\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{3}{5}\vec{\jmath}-\frac{4}{5}\vec{k}

También podía hallarse directamente como

\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}

3.2 Componentes de la aceleración

3.2.1 Tangencial

Según hemos visto, en este instante la aceleración es ortogonal a la velocidad, por lo que no tiene componente tangencial

\vec{a}_t=\vec{0}\qquad\qquad a_t=0

3.2.2 Normal

Al ser nula la aceleración tangencial en este instante, la aceleración normal es toda la aceleración

\vec{a}_n=\vec{a}=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\qquad \qquad a_n=|\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2

3.3 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura en este instante es igual a

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{16h^2\omega^2}{5h\omega^2}=\frac{16}{5}h
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Ejemplo_de_movimiento_arm%C3%B3nico_tridimensional"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace