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Ejemplo de movimiento armónico tridimensional

De Laplace

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1 Enunciado

Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones

\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}

siendo su posición y velocidad iniciales

\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}
  1. Calcule la posición, velocidad y aceleración de la partícula en todo instante.
  2. Para el instante t = 0 halle:
    1. El triedro de Frenet: \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}.
    2. Las componentes intrínsecas de la aceleración (en forma escalar y vectorial).
    3. La posición del centro de curvatura.
  3. Empleando coordenadas cilíndricas y su base asociada:
    1. Escriba las ecuaciones horarias \{\rho(t),\varphi(t),z(t)\}.
    2. Escriba los vectores de posición, velocidad y aceleración como función del tiempo.
  4. Identifique este movimiento: ¿Es plano? ¿Es rectilíneo? ¿Es uniforme? ¿Cómo es la trayectoria? Justifique las respuestas.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Posición

En un oscilador armónico tridimensional, la solución general para la posición es de la forma

\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

Sustituimos los datos del enunciado y queda

\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t) = 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}

2.2 Velocidad

Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=4h\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}

2.3 Aceleración

Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico

\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}=-4h\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega^2\cos(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Ejemplo_de_movimiento_arm%C3%B3nico_tridimensional"

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