Divergencia de un campo vectorial

De Laplace

Revisión a fecha de 20:14 30 dic 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Definición
- 2.1 Ejemplo
3 Fuentes escalares de un campo vectorial
4 Campo solenoidal
5 Expresión de la divergencia
6 Ejemplos
7 Teorema de Gauss

1 Introducción

2 Definición

Se define la divergencia de un campo vectorial $\mathbf{A}$ en un punto $\mathbf{r}_0$ como el límite

$\mathrm{div}\,\mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{A}=\lim_{\tau\to 0}\frac{1}{\tau} \oint_{\partial\tau}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

donde el límite se toma sobre volúmenes $τ$ cada vez más pequeños que tienden al punto $\mathbf{r}_0$

La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar.

Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manera uniforme.

2.1 Ejemplo

Vamos a calcular la divergencia de $\mathbf{A}=\mathbf{r}$ en $\mathbf{r}_0 = \mathbf{0}$ .

En el artículo sobre flujo de un campo vectorial#Ejemplo_2 se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista $2 a$ en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es

$\Phi = 24 a^3\,$

El volumen de este cubo es

$\tau = (2a)^3 = 8a^3\,$

Por tanto la divergencia en $\mathbf{r}_0 = \mathbf{0}$ es

$\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{a\to 0 }\frac{24a^3}{8a^3} = 3$

Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerando esferas de radio $R$ en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es

$\tau = \frac{4\pi R^3}{3}$

y el flujo a través de la superficie esférica

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \Phi = \oint \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \oint_{r=R) \left(R\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathbf{u}_r\mathrm{d}S\right) = RS = 4\pi R^3

por lo que la divergencia en $\mathbf{r}=\mathbf{0}$ es

$\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{R\to 0 }\frac{4\pi R^3}{4\pi R^3/3} = 3$

Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas.

Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia en un solo punto.

3 Fuentes escalares de un campo vectorial

4 Campo solenoidal

5 Expresión de la divergencia

6 Ejemplos

7 Teorema de Gauss

Divergencia de un campo vectorial

De Laplace

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1 Introducción

2 Definición

2.1 Ejemplo

3 Fuentes escalares de un campo vectorial

4 Campo solenoidal

5 Expresión de la divergencia

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