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Dos conductores esféricos concéntricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene dos conductores esféricos concéntricos. El primero (“1”) es una esfera maciza de radio a=1\,\mathrm{cm} y el otro (“2”) es una corona esférica de radio interior b=2\,\mathrm{cm} y exterior c=4\,\mathrm{cm}.

Archivo:esfera-corona-concentricas.png

Inicialmente los dos conductores están aislados y cada uno almacena una carga de 8 nC.

  1. Calcule el campo eléctrico \vec{E}=E(r)\vec{u}_r en todos los puntos del espacio. Indique cualitativamente cómo sería la gráfica de E(r) como función de la coordenada radial r
  2. Halle el potencial eléctrico al que se encuentra cada conductor.
  3. Suponga que, en un instante dado, se cierra el interruptor que conecta el conductor exterior a una fuente de tensión V_0=2.7\,\mathrm{kV}. Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio, ¿cuál es el nuevo voltaje de la esfera y la carga de la corona?
  4. ¿Cuánto vale la energía almacenada en el sistema antes y después de cerrar el interruptor?
  5. ¿Qué trabajo realiza la fuente de tensión en este proceso? ¿Cuánta energía se disipa en lugar de almacenarse como energía electrostática?

2 Campo eléctrico

Por tratarse de conductores en equilibrio electrostático, las cargas se acumulan en las superficies conductoras. Tenemos tres superficies con las siguientes cargas:

En r = a = 1 cm
La carga de la superficie de la esfera es la total del conductor 1
Q_a = Q_1 = 8\,\mathrm{nC}
En r = b = 2 cm
Por el teorema de Faraday, sobre la pared del hueco se almacena una carga opuesta a la que haya en el interior
Q_b = -Q_a = -Q_1 = -8\,\mathrm{nC}
En r = c = 4 cm
La carga total del conductor 2 es la suma de las de sus superficies
8\,\mathrm{nC}=Q_2 = Q_b + Q_c\qquad\Rightarrow\qquad Q_c = Q_2 - Q_b = Q_2+ Q_1 = 16\,\mathrm{nC}

Cada una de estas cargas se distribuye uniformemente por una superficie esférica. El campo eléctrico producido por cada una es de la forma

\vec{E}_i=\begin{cases} \vec{0} & r < R_i \\ & \\ \dfrac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > R_i\end{cases}

El campo total será la superposición de los de las tres superficies

\vec{E}=\vec{E}_a+\vec{E}_b+\vec{E}_c

Esto da como resultado las siguientes cuatro regiones

\vec{E}=\begin{cases} \vec{0} & r < a \\ & \\ \dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & a < r < b \\ & \\ \vec{0} & b < r < c \\ & \\ \dfrac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > c \end{cases}

En los volúmenes conductores (r < a y b < r < c) el campo se anula.

3 Voltaje de los conductores

El voltaje de cada conductor puede hallarse también por superposición del debido a las tres superficies cargadas. El potencial debido a cada una es de la forma

V_i(r) = \begin{cases} \dfrac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 R_i} & r < R_i \\ & \\ \dfrac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > R_i \end{cases}

Esto nos da, para la esfera maciza

V_1 = V_a= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_a}{a}+\frac{Q_b}{b}+\frac{Q_c}{c}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0a}\left(\frac{Q_1}{a}-\frac{Q_1}{b}+\frac{Q_1+Q_2}{c}\right)

y para la corona

V_2 = V_b = V_c = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_a}{b}+\frac{Q_b}{b}+\frac{Q_c}{c}\right) = \frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 c}

4 Estado tras la conexión

5 Cambio en la energía almacenada

6 Trabajo del generador

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_conductores_esf%C3%A9ricos_conc%C3%A9ntricos"

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