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Dos conductores esféricos concéntricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene dos conductores esféricos concéntricos. El primero (“1”) es una esfera maciza de radio a=1\,\mathrm{cm} y el otro (“2”) es una corona esférica de radio interior b=2\,\mathrm{cm} y exterior c=4\,\mathrm{cm}.

Archivo:esfera-corona-concentricas.png

Inicialmente los dos conductores están aislados y cada uno almacena una carga de 8 nC.

  1. Calcule el campo eléctrico \vec{E}=E(r)\vec{u}_r en todos los puntos del espacio. Indique cualitativamente cómo sería la gráfica de E(r) como función de la coordenada radial r
  2. Halle el potencial eléctrico al que se encuentra cada conductor.
  3. Suponga que, en un instante dado, se cierra el interruptor que conecta el conductor exterior a una fuente de tensión V_0=2.7\,\mathrm{kV}. Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio, ¿cuál es el nuevo voltaje de la esfera y la carga de la corona?
  4. ¿Cuánto vale la energía almacenada en el sistema antes y después de cerrar el interruptor?
  5. ¿Qué trabajo realiza la fuente de tensión en este proceso? ¿Cuánta energía se disipa en lugar de almacenarse como energía electrostática?

2 Campo eléctrico

Por tratarse de conductores en equilibrio electrostático, las cargas se acumulan en las superficies conductoras. Tenemos tres superficies con las siguientes cargas:

En r = a = 1 cm
La carga de la superficie de la esfera es la total del conductor 1
Q_a = Q_1 = 8\,\mathrm{nC}
En r = b = 2 cm
Por el teorema de Faraday, sobre la pared del hueco se almacena una carga opuesta a la que haya en el interior
Q_b = -Q_a = -Q_1 = -8\,\mathrm{nC}
En r = c = 4 cm
La carga total del conductor 2 es la suma de las de sus superficies
8\,\mathrm{nC}=Q_2 = Q_b + Q_c\qquad\Rightarrow\qquad Q_c = Q_2 - Q_b = Q_2+ Q_1 = 16\,\mathrm{nC}

Cada una de estas cargas se distribuye uniformemente por una superficie esférica. El campo eléctrico producido por cada una es de la forma

\vec{E}_i=\begin{cases} \vec{0} & r < R_i \\ & \\ \dfrac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > R_i\end{cases}

El campo total será la superposición de los de las tres superficies

\vec{E}=\vec{E}_a+\vec{E}_b+\vec{E}_c

Esto da como resultado las siguientes cuatro regiones

\vec{E}=\begin{cases} \vec{0} & r < a \\ & \\ \dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & a < r < b \\ & \\ \vec{0} & b < r < c \\ & \\ \dfrac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > c \end{cases}

En los volúmenes conductores (r < a y b < r < c) el campo se anula.

Gráficamente tenemos, como función de r, primero un valor nulo, seguido de un campo como el de una carga puntual (decae como el inverso del cuadrado). A continuación otro tramo nulo y por último el de otra carga puntual (de valor la total de la distribución).

Archivo:esfera-corona-concentricas-02.png

3 Voltaje de los conductores

El voltaje de cada conductor puede hallarse también por superposición del debido a las tres superficies cargadas. El potencial debido a cada una es de la forma

V_i(r) = \begin{cases} \dfrac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 R_i} & r < R_i \\ & \\ \dfrac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > R_i \end{cases}

Esto nos da, para la esfera maciza

V_1 = V_a= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_a}{a}+\frac{Q_b}{b}+\frac{Q_c}{c}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0a}\left(\frac{Q_1}{a}-\frac{Q_1}{b}+\frac{Q_1+Q_2}{c}\right)

y para la corona

V_2 = V_b = V_c = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_a}{b}+\frac{Q_b}{b}+\frac{Q_c}{c}\right) = \frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 c}

Siendo sus valores numéricos

V_1=900\left(\frac{8}{1}-\frac{8}{2}+\frac{16}{4}\right)\,\mathrm{V}=7200\,\mathrm{V}

y

V_2=900\,\frac{16}{4}\,\mathrm{v}=3600\,\mathrm{V}

4 Estado tras la conexión

Tras la conexión, la carga del conductor 1, que está aislado, no se ve modificada, pero su potencial puede haber cambiado (ya que este depende de los demás conductores del sistema).

En el conductor 2 ahora conocemos su potencial, y para ello la fuente habrá puesto o quitado carga, por lo que no conocemos su carga.

Hallamos esta carga imponiendo que su potencial sea el nuevo valor conocido

V'_2 = \frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 c}\qquad\Rightarrow\qquad Q'_2= (4\pi\varepsilon_0c)V_2-Q_1

que tiene el valor

Q'_2=\left(\frac{0.04\times 2700}{9\times 10^9}-8\times 10^{-9}\right)\mathrm{C}=4\,\mathrm{nC}

y el nuevo potencial de la esfera es

V'_1=900\left(\frac{8}{1}-\frac{8}{2}+\frac{8+4}{4}\right)\,\mathrm{V}=6300\,\mathrm{V}

Vemos que ha disminuido la carga de la corteza y como consecuencia ha bajado el potencial del conductor interior.

5 Cambio en la energía almacenada

La energía de un sistema de conductores la da el sumatorio

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2

Esto da, en el estado inicial

U_\mathrm{ei}=\left(\frac{8*7.2}{2}+\frac{8*3.6}{2}\right)\mu\mathrm{J}=43.2\,\mu\mathrm{J}

y para el estado final

U_\mathrm{ei}=\left(\frac{8*6.3}{2}+\frac{4*2.7}{2}\right)\mu\mathrm{J}=30.6\,\mu\mathrm{J}

siendo la diferencia en la energía almacenada

\Delta U_\mathrm{e} = U_\mathrm{ef}-U_\mathrm{ei}=-12.6\,\mu\mathrm{J}

6 Trabajo del generador

El generador lo que hace es colocar o quitar carga del conductor, por lo que el trabajo que realiza es

W_g = (\Delta Q)V_g = (Q'_2-Q_2)V'_2\,

Numéricamente

W_g = (4\,\mathrm{nC}-8\,\mathrm{nC})2700\,\mathrm{V}=-10.8\,\mu\mathrm{J}

Vemos que en este caso realiza un trabajo negativo, es decir, funcionaría como un acumulador de energía o un motor, quitándosela al sistema para emplearla en otros procesos.

Vemos que la energía que la fuente saca no coincide con lo que dismminuye la energía almacenada. La diferencia se va en energía disipada

W_g = \Delta U_e + W_d\qquad\Rightarrow\qquad W_d = W_g-\Delta U_e = 1.8\,\mu\mathrm{J}

Esta energía se pierde usualmente en forma de calor.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_conductores_esf%C3%A9ricos_conc%C3%A9ntricos"

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