Escuadra con barra vertical, Enero 2015 (F1 GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 22:53 1 feb 2015; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Posiciones de los CIR
- 2.2 Reducciones cinemáticas

1 Enunciado

En la figura se muestran los sólidos rígidos "0" y "2" que realizan sendos movimientos planos respecto del plano director fijo $\Pi_1\equiv O_1X_1Y_1$ (sólido "1"). El sólido "0" está formado por dos barras, $O A$ y $O B$ , ambas de longitud $a$ y rígidamente unidas formado un recto. El sólido "2" es una barra rígida $C D$ , también de longitud $a$ , cuyos extremos siempre están en contacto con las barras $O A$ y $O B$ , respectivamente.

A partir de la posición inicial en que el vértice $O$ del sólido "0" coincide con el punto fijo $O 1$ , y las barras $O A$ y $O B$ están alineadas con los ejes $O 1 X 1$ y $O 1 Y 1$ , respectivamente, el sólido "0" se mueve, respecto de $Π 1$ , rotando en sentido horario. En dicho movimiento, el módulo del correspondiente vector rotación tiene un valor constante en el tiempo $ω 0$ . Además, los puntos $O$ y $A$ de dicho sólido recorren, respectivamente, los ejes $O 1 Y 1$ y $O 1 Y 1$ . Simultáneamente, los extremos $C$ y $D$ del sólido "2" recorren las barras $O A$ y $O B$ ,respectivamente, de manera que $C D$ permanece en todo momento paralela al eje $O 1 Y 1$ .

Obtenga de manera razonada e indique la posición de los C.I.R. de los movimientos relativos {01}, {20} y {21} en el instante reflejado en la figura, en que el ́angulo $θ(t)$ tiene un valor $π / 6$ . Indique también las direcciones de las velocidades de los extremos $C$ y $D$ del sólido "2", medidas desde el sistema de referencia "1" (movimiento {21}).
Obtenga las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el instante mostrado en la figura.
También para la posición analizada en los apartados anteriores, determine la aceleración instantánea de los puntos del sólido "2" en el movimiento {21}.

2 Solución

2.1 Posiciones de los CIR

La figura de la derecha muestra las posiciones de los CIR de los tres movimientos. La velocidad $\vec{v}^{\,O}_{01}$ es paralela al eje $O Y 1$ , mientras que la velocidad $\vec{v}^{\,A}_{01}$ es paralela al eje $O X 1$ . Trazando las perpendiculares respectivas a los puntos $O$ y $A$ obtenemos la posición del CIR $I 01$ . Teniendo en cuenta que la longitud de la barra $O A$ es $a$ , la posición de $I 01$ es

$\overrightarrow{O_1I_1} = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1$

Con respecto al movimiento {20} el mismo procedimiento se aplica en los puntos $C$ y $D$ . Dado que la longitud de la barra $C D$ es $a$ , tenemos

$\overline{DI}_{20} = \overline{OC} = a\,\mathrm{sen}\,\theta, \qquad \overline{CI}_{20}=\overline{OB}=a\cos\theta$

Por tanto, la posición de $I 20$ usando la base del sólido "0" es

$\overrightarrow{OI}_{20} = a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_0 + a\cos\theta\,\vec{\jmath}_0$

Podemos expresar la posición de $I 20$ en la base del sólido "1". Tenemos

$\overrightarrow{O_1I}_{20} = \overrightarrow{OO}_{1} + \overrightarrow{OI}_{20}$

Del dibujo tenemos

$\overrightarrow{O_1O} = a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1$

Y los vectores de la base del sólido "0" se pueden expresar en términos de los vectores de la base del sólido "1" como

$\begin{array}{l} \vec{\imath}_0 = \cos\theta\,\vec{\imath}_1 - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 \\ \vec{\jmath}_0 = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + \cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array}$

Obtenemos al final

$\overrightarrow{O_1I}_{20} = 2a\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a(\mathrm{sen}\,\theta + \cos^2\theta - \mathrm{sen}^2\,\theta)\,\vec{\jmath}_1$

2.2 Reducciones cinemáticas

2.2.1 Movimiento {01}

Es un movimiento plano, entonces

$\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}$

Necesitamos la velocidad de dos puntos para determinar $ω 01$ . Determinamos los vectores de posición absolutos de los puntos $O$ y $A$ .

$\begin{array}{l} \overrightarrow{O_1O} = \vec{r}^{\,O}_{01} = a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 \\ \overrightarrow{O_1A} = \vec{r}^{\,A}_{01} = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 \end{array}$

Estos vectores dan la posición de estos puntos en todo instante. Podemos derivarlos respecto al tiempo para obtener las dos velocidades

$\begin{array}{l} \vec{v}^{\,O}_{01} = a\omega_0\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 = a\omega_0\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \\ \vec{v}^{\,A}_{01} = -a\omega_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 = -a\omega_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array}$

Usamos el teorema de Chasles para relacionar las dos velocidades.

$\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}$

El vector geométrico es

$\overrightarrow{OA} = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1$

y entonces

$\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} = a\omega_{01}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a\omega_{01}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1$

Por tanto

$\vec{v}^{\,A}_{01} = a\omega_{01}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a(\omega_{01}-\omega_0)\cos\theta\,\vec{\jmath}_1$

Comparando con la expresión anterior de $\vec{v}^{\,A}_{01}$ llegamos a

$ω 01 = - ω 0$

Y una posible reducción del movimiento {01} es

$\vec{\omega}_{01} = -\omega_0\,\vec{k}\,\qquad \vec{v}^{\,O}_{01} = a\omega_0\cos\theta\,\vec{\jmath}_1$

2.2.2 Movimiento {21}

El enunciado dice que la barra $C D$ se mueve siempre permanece paralela al eje $O 1 Y 1$ . Entonces el movimiento es una traslación, es decir

$\vec{\omega}_{21} = \vec{0}$

Necesitamos la velocidad en un punto. El más fácil es el punto $D$ . Podemos determinar su vector de posición respecto al sólido "1" como

$\overrightarrow{O_1D} = \vec{r}^{\,D}_{21} = \overrightarrow{O_1O} + \overline{OD}\,\vec{\jmath}_0$

En el apartado anterior hemos visto que

$\overline{OD} = a\cos\theta, \qquad \vec{\jmath}_0 = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + \cos\theta\,\vec{\jmath}_1$

Entonces

$\overrightarrow{O_1D} = a\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a(\mathrm{sen}\,\theta + \cos^2\theta)\,\vec{\jmath}_1$

Derivando respecto del tiempo obtenemos

$\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1D}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -a\omega_0(\cos^2\theta - \mathrm{sen}^2\theta)\,\vec{\imath}_1 + a\omega_0(\cos\theta - 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1$