Centro de masas de diversos sistemas continuos (GIC)

De Laplace

Revisión a fecha de 21:06 4 dic 2014; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Calcula la posición del centro de masas de los siguientes sistemas continuos

Una varilla de longitud $L$ con densidad de masa constante.
Una varilla de longitud $L$ y masa $M$ , con densidad de masa $\mu = (C/L)\,x$ (el punto $x = 0$ corresponde a un extremo de la varilla)
Un aro semicircular de masa $M$ y radio $R$ .
Dos esferas macizas de masas $M 1$ y $M 2$ y radios $R$ y $2 R$ , unidas por un cilindro de masa $M 3$ y longitud $L$ .

2 Solución

2.1 Introducción teórica

Para un sistema de N masas puntuales, cada una con masa $m i$ y vector de posición $\vec{r}_i$ , la posición del centro de masas viene dada por la expresión

$\vec{r}_{CM} = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\vec{r}_i}{\sum\limits_{i=1}^nm_i} = \vec{r}_{CM} = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\vec{r}_i}{ M}$

El denominador es la masa total del sistema.

La técnica para calcular centros de masas en sistemas continuos consiste en dividirlos en pequeñas masas (diferenciales de masa $d m$ ) y aplicar a éstas la fórmula anterior. Al hacer esto, aplicamos las transformaciones

$m_i \to \mathrm{d}m, \qquad \vec{r}_i\to\vec{r}, \qquad \sum\limits_{i=1}^n \to \int$

y la posición del centro de masas se convierte en

$\vec{r}_{CM} = \dfrac{\int\mathrm{d}m\,\vec{r}}{\int\mathrm{d}m} = \dfrac{\int\mathrm{d}m\,\vec{r}}{M}$

La integral se extiende a todo el volumen del sólido.

2.2 Varilla homogénea

Dividimos la varilla en pequeños trozos de masa $d m$ . Queremos calcular la posición del centro de masas respecto al punto $O$ Como se indica en la figura, la posición de cada masa diferencial puede expresarse como

$\vec{r} = x\,\vec{\imath} \qquad\qquad 0\leq x \leq L$

La longitud de cada trocito puede escribirse como

$d l = d x$

Podemos expresar la masa de cada trocito en función de la densidad lineal de masa. Para una varilla homogénea la densidad lineal de masa es la misma en todos sus puntos y vale

$\mu = \dfrac{M}{L}$

Entonces, la masa de un trocito es la densidad lineal de masa por su longitud

$\mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}x$

Entonces la integral que aparece en el numerador de la expresión para calcular el centro de masas es

$\int\mathrm{d}m\,\vec{r} = \int\limits_0^L (x\vec{\imath})\,\mu\,\mathrm{d}x = \vec{\imath}\,\mu\,\int\limits_0^L x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\mu L^2\,\vec{\imath} = \dfrac{1}{2}ML\,\vec{\imath}$

Hemos usado que $μ$ y $\vec{\imath}$ no dependen de $x$ y salen de la integral. Además, hemos utilizado que $μ = M / L$ .

Entonces, el vector de posición del centro de masas es

$\vec{r}_{CM} = \dfrac{\int\mathrm{d}m\,\vec{r}}{M} = \dfrac{1}{2}L\,\vec{\imath}$

El CM está en el centro de la varilla, como se puede deducir por argumentos de simetría pues la varilla es homogénea.

2.3 Varilla con densidad de masa variable

Ahora nos dan como dato la densidad lineal de masa de la varilla

$\mu = C\dfrac{x}{L}$

siendo $C$ una constante. Esto quiere decir que la densidad aumenta cuando nos desplazamos hacia la derecha de la varilla.

Ahora tenemos que calcular la masa de la varilla sumando las masas de todos los trocitos. La masa de cada uno es

$\mathrm{d}m = \mu(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{C}{L}x\mathrm{d}x$

La masa total es la suma de todos ellos, es decir, la integral

$M = \int ,\mathrm{d}m = \int\limits_0^L\,\mu(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_0^L \,\dfrac{C}{L}x\,\mathrm{d}x = \dfrac{C}{L}\,\int\limits_0^L\,x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}CL$

La otra integral que necesitamos es

$\int\vec{r}\,\mathrm{d}m = \int\limits_0^L (x\vec{\imath})\mu(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_0^L\,\vec{\imath}\, \dfrac{C}{L} x^2\,\mathrm{d}x = \vec{\imath}\, \dfrac{C}{L}\,\int\limits_0^L\, x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}CL^2\,\vec{\imath}$

Por tanto, la posición del centro de masas es

$\vec{r}_{CM} = \dfrac{\int\mathrm{d}m\,\vec{r}}{M} = \dfrac{2}{3}L\,\vec{\imath}$

Ahora el CM está desplazado hacia la derecha, pues la densidad de la varilla aumenta en esa dirección.

Centro de masas de diversos sistemas continuos (GIC)

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Introducción teórica

2.2 Varilla homogénea

2.3 Varilla con densidad de masa variable

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