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No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La varilla rígida AB\, (sólido "0"), de longitud 2L\,, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical OZ_{1}\, del triedro fijo OX_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje OZ_{1}\,. La varilla "0" rota alrededor del eje OZ_{1}\, con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo A\, recorre el citado eje OZ_{1}\, con celeridad constante v_0\, (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida CD\, (sólido "2"), de longitud L\,, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro C\, de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por C\,. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje AX_{0}\,) con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido mostrado en la figura). Sea \{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro AX_0Y_0Z_0\, (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad \vec{v}^{\, C}_{01}\,
  2. Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,
  3. Aceleración \vec{a}^{\, C}_{21}\,

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

El movimiento de arrastre {01} (condicionado por un vínculo del tipo par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación y mínimo deslizamiento). En concreto, el EPRMD{01} es el eje OZ_1\equiv OZ_0\,. Para caracterizar el movimiento {01}, escribimos su reducción cinemática en el punto A\,, es decir, los vectores \vec{\omega}_{01}(t)\, y \vec{v}^{\, A}_{01}(t)\, (cuyas direcciones, módulos y sentidos se deducen del enunciado y la figura):

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.

Por otra parte, el movimiento relativo {20} (condicionado por un vínculo del tipo par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación). En concreto, el EPR{20} es el eje AX_0\,. Para caracterizar el movimiento {20}, escribimos su reducción cinemática en el punto C\,, es decir, los vectores \vec{\omega}_{20}(t)\, y \vec{v}^{\, A}_{20}(t)\, (la velocidad {20} de C\, es nula por ser éste un punto del EPR{20}; mientras que la dirección, el módulo y el sentido de la velocidad angular {20} se deducen del enunciado y la figura):

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos A\, y C\,, respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:

\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-v_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}\right.

3 Velocidad {01} del punto C

La velocidad de arrastre \vec{v}^{\, C}_{01}\, se determina utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}:

\vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC}=-v_0\,\vec{k}_0+\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0=\Omega L\,\vec{\jmath}_0-v_0\,\vec{k}_0

4 Aceleración angular {21}

Determinamos \vec{\alpha}_{21}\, aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\times \Omega\,\vec{\imath}_0=\Omega^2\,\vec{\jmath}_0

5 Aceleración {21} del punto C

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta \vec{a}^{\, C}_{21}\, se calcula así:

\vec{a}^{\, C}_{21}=\vec{a}^{\, C}_{20}+\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, C}_{20}

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración relativa \vec{a}^{\, C}_{20}\, (la cual es nula por pertenecer el punto C\, al EPR{20}, es decir, por ser C\, un punto fijo en el movimiento {20}):

\vec{a}^{\, C}_{20}=\vec{0}

la aceleración de arrastre \vec{a}^{\, C}_{01}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

\vec{a}^{\, C}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AC}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AC})=\Omega\,\vec{k}_0\times(\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0)=-\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0

y el término de Coriolis (el cual también es nulo por ser C\, un punto fijo en el movimiento {20}):

2\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{=\vec{0}}=\vec{0}

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración absoluta \vec{a}^{\, C}_{21}\,:

\vec{a}^{\, C}_{21}=\vec{a}^{\, C}_{01}=-\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0
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