No Boletín - Detección de invariantes (Ex.Feb/14)
De Laplace
1 Enunciado
En el contexto de la cinemática del sólido rígido, se utiliza la palabra "invariante" en un sentido espacial (no temporal). Por eso, se denomina invariante a cualquier magnitud cuyo valor no varía de un punto a otro del sólido rígido.
¿Cuál de las siguientes magnitudes no es un invariante?
2) 
3) 
4) 
2 Solución
Averiguaremos si una magnitud es o no un invariante buscando la relación entre los valores que toma dicha magnitud en dos puntos arbitrarios (
y 
) del sólido rígido, para así poder comprobar si dichos valores son o no iguales entre sí.
Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido:
se comprueba que la primera magnitud propuesta (
) es un invariante:
![\vec{v}_{P}\cdot\vec{\omega}=\left[\vec{v}_{Q}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\cdot\vec{\omega}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\omega}+\underbrace{\left[\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\!\cdot\vec{\omega}}_{=0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\omega}](/wiki/images/math/2/f/2/2f2c98d88af269a7ecb2fa17b089a1bc.png)
La segunda magnitud propuesta () es también un invariante. No hace falta demostrarlo porque es obvio que su valor no varía de un punto a otro del sólido rígido, y además se trata del primer invariante fundamental estudiado en la teoría del tema.
Utilizamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido:
![\vec{a}_{P}=\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\vec{\omega}\times\left[\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right]=\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\vec{\omega}-\left|\vec{\omega}\right|^2\overrightarrow{QP}](/wiki/images/math/d/a/f/daffa0e57c342f4fe82bf1d69fb7e26b.png)
para analizar si la tercera magnitud propuesta () varía o no de valor al pasar de un punto a otro del sólido rígido:
![\vec{a}_{P}\,\cdot\,\vec{\alpha}=\left[\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\vec{\omega}-\left|\vec{\omega}\right|^2\overrightarrow{QP}\right]\cdot\,\vec{\alpha}=\vec{a}_{Q}\,\cdot\,\vec{\alpha}+\underbrace{\left(\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}\right)\!\cdot\vec{\alpha}}_{=0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}+\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\left(\vec{\omega}\cdot\vec{\alpha}\right)\,-\,\left|\vec{\omega}\right|^2\left(\overrightarrow{QP}\cdot\vec{\alpha}\right)](/wiki/images/math/8/6/3/86359c846a854f20276376c61d9606ff.png)
Observamos que los dos últimos sumandos no son nulos en general, de modo que:
Por tanto, la tercera magnitud propuesta () no es un invariante. Es la opción correcta conforme a la pregunta planteada en el enunciado.
Finalmente, nos queda comprobar que la cuarta magnitud propuesta (
); es también un invariante:
![\begin{array}{c}
\vec{v}_{P}\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{P}\cdot\vec{\omega}=\left[\vec{v}_{Q}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\cdot\vec{\alpha}+\left\{\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\vec{\omega}\times\left[\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right]\right\}\,\cdot\,\vec{\omega}= \\
= \vec{v}_{Q}\cdot\vec{\alpha}+\left[\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{Q}\cdot\vec{\omega}+\left[\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}\right]\cdot\vec{\omega}+\underbrace{\left\{\vec{\omega}\times\left[\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right]\right\}\cdot\vec{\omega}}_{=0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{Q}\cdot\vec{\omega}\end{array}](/wiki/images/math/9/c/2/9c2632fa79f4e3b2d8fe62bab91249a9.png)
