Potencial en gota de agua cargada eléctricamente FII GIA

De Laplace

Revisión a fecha de 13:13 13 mar 2014; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Potencial electrostático creado por una esfera cargada uniformemente
  - 2.1.1 Potencial en el exterior
  - 2.1.2 Potencial en el interior

1 Enunciado

Una gota esférica de agua transporta una carga de $30\,\mathrm{pC}$ uniformemente distribuida en su volumen, siendo el potencial en su superficie de $500\,\mathrm{V}$ (considerando $V = 0$ en el infinito).

¿Cuál es el radio de la gota?
¿Cuál es el valor del potencial en el centro de la gota?
Si esta gota se combina con otra con el mismo radio y la misma carga para formar una sola gota, determine el potencial en la superficie de la nueva gota.

2 Solución

Para resolver el ejercicio se propone como modelo que la carga eléctrica $Q_0=30\,\mathrm{pC}$ se distribuye uniformemente en todo el volumen de la gota, que consideraremos como una esfera $\displaystyle \tau_f$ de centro $O$ y radio $R$ desconocido. Por tanto, aunque dicha distribución estará caracterizada por una densidad volumétrica de carga constante $ρ 0$ , desconocemos su valor a priori:

$\rho_e(P)=\rho_0=\frac{3Q_0}{4\pi R^3}\ \mathrm{,}\quad\forall \, P\in\tau_f\quad \left(|\overrightarrow{OP}|=|\mathbf{r}|<R\right)$

Como el dato conocido es que el potencial electrostático en la superficie de la gota tiene un valor de $500\,\mathrm{V}$ , hemos de utilizar la función $\displaystyle V(\mathbf{r})$ para dicho campo escalar. Recordemos cómo se obtiene dicha función de campo:

2.1 Potencial electrostático creado por una esfera cargada uniformemente

Como se sabe, conocido el valor de potencial en un determinado punto $P 0$ del espacio, $V (P 0) = V 0$ , para cualquier otro punto $P$ se tendrá:

$V(P)=V_0-\int_{P_0}^P\!\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$

Considerando que la posición del punto genérico $P$ está determinada por el radio-vector posición $\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}$ , la expresión general de la función de campo puede expresarse en términos de una integral indefinida para el campo eléctrico más una constante de integración, que ha de ajustarse de manera que se verifique la condición sobre el valor conocido del potencial para $\mathbf{r}_0=\overrightarrow{OP}_0$ :

$V(\mathbf{r})=-\int\!\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}\!\ + C\mathbf{,}\quad \mathrm{tal}\; \mathrm{que}\quad V(\mathbf{r}_0)=V_0$

El campo eléctrico creado por la gota cargada uniformemente en volumen, presentará expresiones distintas dentro y fuera de la distribución de carga:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle\mathbf{E}_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|\geq R\\ \\ \displaystyle\mathbf{E}_\mathrm{int}(\mathbf{r})=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|\leq R\end{cases}$

En consecuencia, el potencial también estará definido por expresiones diferentes en cada una de las dos regiones consideradas:

2.1.1 Potencial en el exterior

En los puntos exteriores a la distrución de carga se tendrá:

$V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=-\int\!\mathbf{E}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\;+C_\mathrm{ext}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\geq R$

Si expresamos el vector-posición $\mathbf{r}$ en términos de su módulo $r$ y del vector unitario $\mathbf{u}_r(P)$ , en la dirección y el sentido del sentido del segmento $\overrightarrow{OP}$ , se obtiene:

$\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r(P)\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathrm{d}r}{r^2}$

El potencial electrostático creado en el exterior de la distribución esférica de será:

$V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=-\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \int\!\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\;+C_\mathrm{ext}=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ r}\;+C_\mathrm{ext}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\geq R$

La constante de integración $C ext$ se ha de determinar a partir de valor del potencial en un punto del dominio de definición; es decir, un punto del exterior. Obsérvese que los puntos infinitamente alejados de la distribución pertenecen a dicho dominio, y puesto que la carga $Q 0$ se distribuye en una región finita (la esfera de radio $R$ ), la perturbación que produce (es decir, el campo eléctrico o el potencial electrostático) va a ser poco significativa e incluso despreciable en puntos muy alejados. En consecuencia, la constante de integración $C ext$ debe ser tal que:

$\lim_{|\mathbf{r}|\rightarrow\infty}V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=C_\mathrm{ext}=0$ $\Rightarrow$ $V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ |\mathbf{r}|}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\geq R$

2.1.2 Potencial en el interior

En el interior de la distribución volumétrica uniforme de carga se tendrá: $V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=-\int\!\mathbf{E}_\mathrm{int}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\;+C_\mathrm{int}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\leq R\!\mathrm{,}$

donde el integrando se obtiene utilizando la expresión del cargo eléctrico en dicha región,

$\mathbf{E}_\mathrm{int}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ r\!\ \mathrm{d}r$

obteniéndose la expresión general:

$V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=-\int\!\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ r\!\ \mathrm{d}r\;+C_\mathrm{int}=-\frac{\rho_0}{6\varepsilon_0}\ r^2 + C_\mathrm{int}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\leq R\!\mathrm{,}$

Para determinar el valor de la constante de integración $C int$ debemos, nuevamente, utilizar el valor del potencial en un punto del dominio de definición. Sin embargo, en esta ocasión no podemos adjudicar un valor arbitrario de potencial en un punto cualquiera, sino que hemos de aplicar la condición de continuidad del potencial en los puntos de la superficie o interfaz que separa las regiones exterior e interior. En este caso se tratataría de la superficie esférica $Σ$ de la gota cargada, cuyo radio $R$ desconocemos:

$\forall\, P\in \Sigma: r=R\!\ \mathrm{,} \;\; V_\mathrm{int}(P)=V_\mathrm{ext}(P)\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{|\mathbf{r}|\rightarrow R^-}V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=-\frac{\rho_0}{6\varepsilon_0}\ R^2\;+C_\mathrm{int}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\!\ R}=\lim_{|\mathbf{r}|\rightarrow R^+}V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})$

Teniendo en cuenta la relación entre la cantidad total de carga en la gota $Q 0$ , y la densidad volumétrica constante $ρ 0$ con la que se distribuye, se obtiene qué valor ha de tener la constante de integraciónEs decir, para que el potencial sea continuo en la superficie de la gota:

$C_\mathrm{int}=\frac{\rho_0\!\ R^2}{2\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=\frac{\rho_0\!\ R^2}{2\varepsilon_0}\!\ \left[1-\frac{|\mathbf{r}|^2}{3\!\ R^2}\right]=\frac{3\!\ Q_0}{8\pi\varepsilon_0\!\ R}\!\ \left[1-\frac{|\mathbf{r}|^2}{3\!\ R^2}\right]\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\leq R$

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2 Solución

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