Potencial en gota de agua cargada eléctricamente FII GIA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una gota esférica de agua transporta una carga de $30\,\mathrm{pC}$ uniformemente distribuida en su volumen, siendo el potencial en su superficie de $500\,\mathrm{V}$ (considerando $V = 0$ en el infinito).

¿Cuál es el radio de la gota?
¿Cuál es el valor del potencial en el centro de la gota?
Si esta gota se combina con otra con el mismo radio y la misma carga para formar una sola gota, determine el potencial en la superficie de la nueva gota.

2 Solución

Para resolver el ejercicio se propone como modelo que la carga eléctrica $Q_0=30\,\mathrm{pC}$ se distribuye uniformemente en todo el volumen de la gota, que consideraremos como una esfera $\displaystyle \tau_f$ de centro $O$ y radio $R$ desconocido. Por tanto, aunque dicha distribución estará caracterizada por una densidad volumétrica de carga constante $ρ 0$ , desconocemos su valor a priori:

$\rho_e(P)=\rho_0=\frac{3Q_0}{4\pi R^3}\ \mathrm{,}\quad\forall \, P\in\tau_f\quad \left(|\overrightarrow{OP}|=|\mathbf{r}|<R\right)$

Como el dato conocido es que el potencial electrostático en la superficie de la gota tiene un valor de $500\,\mathrm{V}$ , hemos de utilizar la función $\displaystyle V(\mathbf{r})$ para dicho campo escalar. Recordemos cómo se obtiene dicha función de campo:

2.1 Potencial electrostático creado por una esfera cargada uniformemente

Como se sabe, conocido el valor de potencial en un determinado punto $P 0$ del espacio, $V (P 0) = V 0$ , para cualquier otro punto $P$ se tendrá:

$V(P)=V_0-\int_{P_0}^P\!\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$

Considerando que la posición del punto genérico $P$ está determinada por el radio-vector posición $\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}$ , la expresión general de la función de campo puede expresarse en términos de una integral indefinida para el campo eléctrico más una constante de integración, que ha de ajustarse de manera que se verifique la condición sobre el valor conocido del potencial para $\mathbf{r}_0=\overrightarrow{OP}_0$ :

$V(\mathbf{r})=-\int\!\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}\!\ + C\mathbf{,}\quad \mathrm{tal}\; \mathrm{que}\quad V(\mathbf{r}_0)=V_0$

El campo eléctrico creado por distribución uniforme de carga en la esfera, presentará expresiones distintas dentro y fuera de dicha distribución:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle\mathbf{E}_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|\geq R\\ \\ \displaystyle\mathbf{E}_\mathrm{int}(\mathbf{r})=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|\leq R\end{cases}$

En consecuencia, el potencial también estará definido por expresiones diferentes en cada una de las dos regiones consideradas:

2.1.1 Potencial en el exterior

En los puntos exteriores a la distrución de carga se tendrá:

$V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=-\int\!\mathbf{E}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\;+C_\mathrm{ext}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\geq R$

Si expresamos el vector-posición $\mathbf{r}$ en términos de su módulo $r$ y del vector unitario $\mathbf{u}_r(P)$ , en la dirección y el sentido del sentido del segmento $\overrightarrow{OP}$ , se obtiene:

$\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r(P)\\ \\ \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}r\!\ \mathbf{u}_r(P)+r\!\ \mathrm{d}\mathbf{u}_r\big\rfloor_P\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathrm{d}r}{r^2}$

pues al ser $\mathbf{u}_r(P)$ un vector de módulo constante (siempre igual a la unidad), en todo punto se cumplirá que $\mathrm{d}\mathbf{u}_r\big\rfloor_P \perp\!\ \mathbf{u}_r(P)$ . En consecuencia, el potencial electrostático creado en el exterior de la distribución esférica de será:

$V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=-\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \int\!\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\;+C_\mathrm{ext}=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ r}\;+C_\mathrm{ext}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\geq R$

La constante de integración $C ext$ se ha de determinar a partir de valor del potencial en un punto del dominio de definición; es decir, un punto del exterior. Obsérvese que los puntos infinitamente alejados de la distribución pertenecen a dicho dominio, y puesto que la carga $Q 0$ se distribuye en una región finita (la esfera de radio $R$ ), la perturbación que produce (es decir, el campo eléctrico o el potencial electrostático) va a ser poco significativa e incluso despreciable en puntos muy alejados. En consecuencia, la constante de integración $C ext$ debe ser tal que:

$\lim_{|\mathbf{r}|\rightarrow\infty}V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=C_\mathrm{ext}=0$ $\Rightarrow$ $V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ |\mathbf{r}|}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\geq R$

2.1.2 Potencial en el interior

En el interior de la distribución volumétrica uniforme de carga se tendrá: $V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=-\int\!\mathbf{E}_\mathrm{int}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\;+C_\mathrm{int}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\leq R\!\mathrm{,}$

donde el integrando se obtiene utilizando la expresión del cargo eléctrico en dicha región,

$\mathbf{E}_\mathrm{int}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ r\!\ \mathrm{d}r$

obteniéndose la expresión general:

$V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=-\int\!\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ r\!\ \mathrm{d}r\;+C_\mathrm{int}=-\frac{\rho_0}{6\varepsilon_0}\ r^2 + C_\mathrm{int}\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\leq R\!\mathrm{,}$

Para determinar el valor de la constante de integración $C int$ debemos, nuevamente, utilizar el valor del potencial en un punto del dominio de definición. Sin embargo, en esta ocasión no podemos adjudicar un valor arbitrario de potencial en un punto cualquiera, sino que hemos de aplicar la condición de continuidad del potencial en los puntos de la superficie o interfaz que separa las regiones exterior e interior. En este caso se tratataría de la superficie esférica $Σ$ de la gota cargada, cuyo radio $R$ desconocemos:

$\forall\, P\in \Sigma: r=R\!\ \mathrm{,} \;\; V_\mathrm{int}(P)=V_\mathrm{ext}(P)\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{|\mathbf{r}|\rightarrow R^-}V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=-\frac{\rho_0}{6\varepsilon_0}\ R^2\;+C_\mathrm{int}=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ R}=\lim_{|\mathbf{r}|\rightarrow R^+}V_\mathrm{ext}(\mathbf{r})$

Teniendo en cuenta la relación entre la cantidad total de carga en la gota $Q 0$ , y la densidad volumétrica constante $ρ 0$ con la que se distribuye, se obtiene qué valor ha de tener la constante de integraciónEs decir, para que el potencial sea continuo en la superficie de la gota:

$C_\mathrm{int}=\frac{\rho_0\!\ R^2}{2\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $V_\mathrm{int}(\mathbf{r})=\frac{\rho_0\!\ R^2}{2\varepsilon_0}\!\ \left[1-\frac{|\mathbf{r}|^2}{3\!\ R^2}\right]=\frac{3\!\ Q_0}{8\pi\varepsilon_0\!\ R}\!\ \left[1-\frac{|\mathbf{r}|^2}{3\!\ R^2}\right]\mathrm{,}\quad\mathrm{para}\quad|\mathbf{r}|=r\leq R$

2.2 Radio de la gota

A patir de los resultados generales obtenidos en el apartado anterior, podemos determinar el radio de la gota en el sistema bajo estudio. En el enunciado se indica que le potencial electrostático en la superficie $Σ$ de la gota tiene un valor conocido:

$V\big\rfloor_\Sigma=V_0=500\,\mathrm{V}\quad\Longrightarrow\quad V_\mathrm{int}(|\mathbf{r}|=R^-)=V_\mathrm{int}(|\mathbf{r}|=R^+)=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ R}=V_0$ $\Longleftrightarrow$ $R=\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ V_0}\approx 0.54\,\mathrm{mm}$

donde, además del valor de potencial $V 0$ , se han utilizado los valores de carga total en la gota y de la constante electrostática, $k_3=(4\pi\varepsilon_0)^{-1}\approx 9\times 10^9\,\mathrm{Nm}^2/\mathrm{C}^2$

2.3 Valor del potencial en el centro de la gota

Los resultados del primer apartado también nos permiten determinar el valor en el centro $O$ de la distribución de carga, una vez determinado el radio de la gota:

$V(O)=V_\mathrm{int}(|\mathbf{r}|=0)$ $\Rightarrow$ $V(O)=\frac{3Q_0}{8\pi\varepsilon_0\!\ R}\approx 750\,\mathrm{V}$

Obsérvese que, si se conoce el radio del gota y el potencial en cualquier punto $P_{{}_\Sigma}$ de su superficie, es posible determinar el potencial en el centro $O$ teniendo en cuenta que la diferencia de potencial entre ambos puntos debe ser igual a la circulación del campo eléctrio entre ambos puntos. Este resultado debe ser independiente del camino elegido, por lo que si evaluamos dicha circulación en una trayectoria que tiene todos sus puntos en el interior de la gota, se tendrá:

$V(O)-V(P_{{}_\Sigma})=\int_O^{P_\Sigma}\!\ \mathbf{E}_\mathrm{int}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\ \longrightarrow\ V(O)-V_0=\frac{\rho_0}{3\!\ \varepsilon_0}\int_0^R\! r\!\ \mathrm{d}r=\frac{\rho_0}{6\varepsilon_0}\!\ R^2$ $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $V(O)=V_0+\frac{Q_0}{8\pi\varepsilon_0\!\ R}\approx 750\,\mathrm{V}$

2.4 Gota doble

Consideramos ahora el caso en que dos gotas idénticas a las analizadas en los apartados anteriores, de igual radio $R=0.54\,\mathrm{mm}$ y volumen, y con la misma cantidad de carga $Q_0=30\,\mathrm{pC}$ cada una de ellas, se une para formar una única gota. Ésta tendrá el doble de volumen que las anteriores y también el doble de carga, por lo que la densidad volumétrica de carga eléctrica no habrá cambiado:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\mathrm{V}(\tau_f^\prime)=\frac{4}{3}\pi (R^\prime)^3=\frac{8}{3}\pi R^3\\ \\ Q^\prime=2\!\ Q_0=60\,\mathrm{pC}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\quad\rho_e^\prime(P)=\frac{6Q_0}{4\pi (R^\prime)^3}=\frac{3Q_0}{4\pi R^3}=\rho_0\ \mathrm{,}\quad\forall \, P\in\tau_f^\prime\quad \left(|\overrightarrow{OP}|=|\mathbf{r}|<R^\prime\right)$

En consecuencia, el potencial electrostático creado por la carga de la nueva gota, será análogo al de los apartados anteriores, teniendo en cuenta que ahora la cantidad de carga es el doble y que el radio debe ser tal que el volumen también sea el doble:

$V^\prime (\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle V_\mathrm{ext}^\prime(\mathbf{r})=\frac{2\!\ Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ |\mathbf{r}|}\ \mathrm{;}&|\mathbf{r}|\geq R^\prime\\ \\ \displaystyle V_\mathrm{int}^\prime(\mathbf{r})=\frac{6\!\ Q_0}{8\pi\varepsilon_0\!\ R^\prime}\!\ \left[1-\frac{|\mathbf{r}|^2}{3\!\ (R^\prime)^2}\right]\mathrm{;}&|\mathbf{r}|=r\leq R^\prime\end{cases}$

siendo $R^\prime$ tal que

$(R^\prime)^3=2\!\ R^3\quad \Longrightarrow\quad R^\prime=2^{1/3}\!\ R \approx 0.68\,\mathrm{mm}$

Determinemos el potencial en la superficie de la nueva gota:

$V\big\rfloor_{\Sigma^\prime}=V^\prime(|\mathbf{r}|=R^\prime)$ $\Rightarrow$ $V\big\rfloor_{\Sigma^\prime}=\frac{2\!\ Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ 2^{1/3}\!\ R}=2^{2/3}\!\ V_0\approx 793.7\,\mathrm{V}$

Potencial en gota de agua cargada eléctricamente FII GIA

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Potencial electrostático creado por una esfera cargada uniformemente

2.1.1 Potencial en el exterior

2.1.2 Potencial en el interior

2.2 Radio de la gota

2.3 Valor del potencial en el centro de la gota

2.4 Gota doble

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