Preguntas de test de dinámica del sólido rígido (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 22:11 4 ene 2014; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Momento de inercia de un péndulo
- 1.1 Solución
2 Dos fuerzas sobre una barra
- 2.1 Solución
3 Comparación de dos momentos de inercia
- 3.1 Solución
4 Sólido formado por tres partículas

1 Momento de inercia de un péndulo

Se tiene un péndulo compuesto formado por una bola de masa 2 kg y diámetro 10 cm que oscila verticalmente colgada por un ganchito de un hilo de masa despreciable y que mide 20 cm, atado a la pared. ¿Cuánto vale el momento de inercia del péndulo respecto a un eje perpendicular al plano de oscilación y que pasa por el punto de anclaje del hilo en la pared?

A 0.002 kg·m².
B 0.050 kg·m².
C 0.008 kg·m².
D 0.127 kg·m².

1.1 Solución

2 Dos fuerzas sobre una barra

En los extremos una barra rígida de longitud $h$ en reposo se aplican dos fuerzas del mismo módulo según la dirección longitudinal de la barra y con sentido opuesto. El resultado de esta aplicación es…

A una traslación de la barra.
B una rotación en torno al centro de la barra.
C un movimiento helicoidal de la barra.
D ninguno. La barra permanece en reposo.

2.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

Al ser las dos fuerzas opuestas, la resultante es nula.

Al estar aplicadas las dos sobre la misma recta, el brazo del par mide 0, y por tanto, el momento resultante también es nula. Si la barra estaba en reposo, continúa en reposo.

3 Comparación de dos momentos de inercia

Se tienen dos esferas macizas de acero, tales que $R 2 = 2 R 1$ . ¿Cuál es la proporción entre los momentos de inercia de ambas respecto a un eje que pasa por sus centros, $I 2 / I 1$ ?

A 2.
B 32.
C 4.
D 8.

3.1 Solución

La respuesta correcta es la B.

El cociente entre los dos momentos de inercia es igual a

$\frac{I_2}{I_1}=\frac{M_2R_2^2}{M_1R_1^2}$

(el factor 2/5 de cada momento de inercia se cancela). Al ser $R 2 = 2 R 1$ se cumple que

$\frac{R_2}{R_1}=\frac{(2R_1)^2}{R_1}=4$

pero también que

$\frac{M_2}{M_1}=\frac{\rho R_2^3}{\rho R_1^3}=8$

(sabemos que la densidad es la misma pues se nos dice que las dos bolas son de acero). Por tanto

$\frac{I_2}{I_1}=8\times 4 = 32$

4 Sólido formado por tres partículas

Un sólido está formado por tres partículas, una de masa 200 g situada en $\vec{r}_1=\vec{0}\,\mathrm{cm}$ y dos de 100 g que se encuentran en $\vec{r}_2=(60\,\vec{\imath})\mathrm{cm}$ y $\vec{r}_3=(60\,\vec{\jmath})\mathrm{cm}$ , respectivamente. Las velocidades de las masas valen cada una $\vec{v}_1 = \vec{v}_2=(10\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ y $\vec{v}_3=-(10\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$

4.1 Pregunta 1

¿Cuál es la posición del centro de masas del sistema?

A $(20\vec{\imath}+20\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .
B $(30\vec{\imath}+30\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .
C $(60\vec{\imath}+60\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .
D $(15\vec{\imath}+15\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .

4.1.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

La posición del centro de masas es una media ponderada de las posiciones de las tres partículas

$\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{200(\vec{0})+100(60\vec{\imath})+100(60\vec{\jmath})}{200+100+100}\,\mathrm{cm}=\left(15\vec{\imath}+15\vec{\jmath}\right)\mathrm{cm}$

4.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale el momento de inercia de este sólido respecto a un eje que pasa por $30\vec{\imath}+30\vec{\jmath}$ (cm) y tiene la dirección del vector $\vec{\imath}$ ?

A 0.12 kg·m².
B 3.60 kg·m².
C 7.20 kg·m².
D 1.80 kg·m².

4.2.1 Solución

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es una suma de las masas multiplicadas por las distancias al eje elevadas al cuadrado

$I = m_1R_1^2+m_2R_2^2+m_3R_3^2\,$

En este caso, el eje es uno tangente al plano del triángulo que forman las masas y paralelo a uno de los lados pasando por el centro del otro. Las tres distancias a este eje son iguales entre sí y a

$R_1 = R_2=R_3 = 30\,\mathrm{cm}$

lo que nos da el momento de inercia

$I = (200\cdot 30^2 + 100\cdot 30^2+100\cdot 30^2)\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2 = 360\,000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2=0.036\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$

Caso de no verse geométricamente, las distancias pueden hallarse analíticamente mediante la fórmula

$R_i = \frac{|(\vec{r}_i-\vec{r}_E)\times\vec{A}|}{|\vec{A}|}$

siendo $\vec{r}_E$ un punto del eje y $\vec{A}$ un vector director de éste. Así, por ejemplo, para la segunda masa tenemos que midiendo las distancias en centímetros

$\vec{r}_2 = 60\,\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}_E = 30\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{A} = \vec{\imath}$

lo que da

$R_2 = \frac{|(30\vec{\imath}-30\vec{\jmath})\times\vec{\imath}|}{|\vec{\imath}|} = \frac{|30\vec{k}|}{1} = 30\,\mathrm{cm}$

y de manera análoga para las otras dos masas.

4.3 Pregunta 3

Si en este sólido se aplica sobre la masa de 200 g una fuerza $\vec{F}_1 = (20\vec{\imath})\,\mathrm{N}$ y sobre las masas de 100 g una fuerza $\vec{F}_2 =\vec{F}_3 = (-20\vec{\imath})\,\mathrm{N}$ . ¿Cuánto vale la aceleración del centro de masas del sólido?