Preguntas de test de dinámica del sólido rígido (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Momento de inercia de un péndulo
2 Dos fuerzas sobre una barra
3 Comparación de dos momentos de inercia
4 Sólido formado por tres partículas
5 Sólido en forma de T
6 Palanca
7 Dos discos en contacto
- 7.1 Pregunta 1
- 7.2 Pregunta 2
8 Fuerza sobre una varilla

1 Momento de inercia de un péndulo

Se tiene un péndulo compuesto formado por una bola de masa 2 kg y diámetro 10 cm que oscila verticalmente colgada por un ganchito de un hilo de masa despreciable y que mide 20 cm, atado a la pared. ¿Cuánto vale el momento de inercia del péndulo respecto a un eje perpendicular al plano de oscilación y que pasa por el punto de anclaje del hilo en la pared?

A 0.188 kg·m².
B 0.050 kg·m².
C 0.008 kg·m².
D 0.127 kg·m².

Solución

La respuesta correcta es la D.

El momento de inercia se calcula mediante el teorema de Steiner

$I = Md^2 + I_C\,$

El momento de inercia de una esfera maciza respecto a un eje que pasa por su centro es

$I_C = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5}\times 2\times 0.05^2\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2=0.002\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$

La distancia del punto de anclaje al centro de la esfera es

$d=20\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=0.25\,\mathrm{m}$

por lo que

$I = (2\times 0.25^2+0.002)\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2=0.127\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$

2 Dos fuerzas sobre una barra

En los extremos una barra rígida de longitud $h$ en reposo se aplican dos fuerzas del mismo módulo según la dirección longitudinal de la barra y con sentido opuesto. El resultado de esta aplicación es…

A una traslación de la barra.
B una rotación en torno al centro de la barra.
C un movimiento helicoidal de la barra.
D ninguno. La barra permanece en reposo.

Solución

La respuesta correcta es la D.

Al ser las dos fuerzas opuestas, la resultante es nula.

Al estar aplicadas las dos sobre la misma recta, el brazo del par mide 0, y por tanto, el momento resultante también es nula. Si la barra estaba en reposo, continúa en reposo.

3 Comparación de dos momentos de inercia

Se tienen dos esferas macizas de acero, tales que $R 2 = 2 R 1$ . ¿Cuál es la proporción entre los momentos de inercia de ambas respecto a un eje que pasa por sus centros, $I 2 / I 1$ ?

A 2.
B 32.
C 4.
D 8.

Solución

La respuesta correcta es la B.

El cociente entre los dos momentos de inercia es igual a

$\frac{I_2}{I_1}=\frac{M_2R_2^2}{M_1R_1^2}$

(el factor 2/5 de cada momento de inercia se cancela). Al ser $R 2 = 2 R 1$ se cumple que

$\frac{R_2}{R_1}=\frac{(2R_1)^2}{R_1}=4$

pero también que

$\frac{M_2}{M_1}=\frac{\rho R_2^3}{\rho R_1^3}=8$

(sabemos que la densidad es la misma pues se nos dice que las dos bolas son de acero). Por tanto

$\frac{I_2}{I_1}=8\times 4 = 32$

4 Sólido formado por tres partículas

Un sólido está formado por tres partículas, una de masa 200 g situada en $\vec{r}_1=\vec{0}\,\mathrm{cm}$ y dos de 100 g que se encuentran en $\vec{r}_2=(60\,\vec{\imath})\mathrm{cm}$ y $\vec{r}_3=(60\,\vec{\jmath})\mathrm{cm}$ , respectivamente. Las velocidades de las masas valen cada una $\vec{v}_1 = \vec{v}_2=(10\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ y $\vec{v}_3=-(10\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$

4.1 Pregunta 1

¿Cuál es la posición del centro de masas del sistema?

A $(20\vec{\imath}+20\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .
B $(30\vec{\imath}+30\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .
C $(60\vec{\imath}+60\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .
D $(15\vec{\imath}+15\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$ .

Solución

La respuesta correcta es la D.

La posición del centro de masas es una media ponderada de las posiciones de las tres partículas

$\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{200(\vec{0})+100(60\vec{\imath})+100(60\vec{\jmath})}{200+100+100}\,\mathrm{cm}=\left(15\vec{\imath}+15\vec{\jmath}\right)\mathrm{cm}$

4.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale el momento de inercia de este sólido respecto a un eje que pasa por $30\vec{\imath}+30\vec{\jmath}$ (cm) y tiene la dirección del vector $\vec{\imath}$ ?

A 0.036 kg·m².
B 0.012 kg·m².
C 0.072 kg·m².
D 0.018 kg·m².

Solución

La respuesta correcta es la A.

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es una suma de las masas multiplicadas por las distancias al eje elevadas al cuadrado

$I = m_1R_1^2+m_2R_2^2+m_3R_3^2\,$

En este caso, el eje es uno tangente al plano del triángulo que forman las masas y paralelo a uno de los lados pasando por el centro del otro. Las tres distancias a este eje son iguales entre sí y a

$R_1 = R_2=R_3 = 30\,\mathrm{cm}$

lo que nos da el momento de inercia

$I = (200\cdot 30^2 + 100\cdot 30^2+100\cdot 30^2)\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2 = 360\,000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2=0.036\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$

Caso de no verse geométricamente, las distancias pueden hallarse analíticamente mediante la fórmula

$R_i = \frac{|(\vec{r}_i-\vec{r}_E)\times\vec{A}|}{|\vec{A}|}$

siendo $\vec{r}_E$ un punto del eje y $\vec{A}$ un vector director de éste. Así, por ejemplo, para la segunda masa tenemos que midiendo las distancias en centímetros

$\vec{r}_2 = 60\,\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}_E = 30\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{A} = \vec{\imath}$

lo que da

$R_2 = \frac{|(30\vec{\imath}-30\vec{\jmath})\times\vec{\imath}|}{|\vec{\imath}|} = \frac{|30\vec{k}|}{1} = 30\,\mathrm{cm}$

y de manera análoga para las otras dos masas.

4.3 Pregunta 3

Si en este sólido se aplica sobre la masa de 200 g una fuerza $\vec{F}_1 = (20\vec{\imath})\,\mathrm{N}$ y sobre las masas de 100 g una fuerza $\vec{F}_2 =\vec{F}_3 = (-20\vec{\imath})\,\mathrm{N}$ . ¿Cuánto vale la aceleración del centro de masas del sólido?

A $0.05\vec{\imath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .
B Es nula.
C $-50\vec{\imath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .
D $-25\vec{\imath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

La aceleración del centro de masas de un sólido es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas dividida por la masa total del sólido

$\vec{a}_C=\frac{\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3}{m_1+m_2+m_3} = \frac{20\vec{\imath}-20\vec{\imath}-20\vec{\imath}}{0.200+0.100+0.100}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = -50\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

5 Sólido en forma de T

Se tiene un sólido en forma de T formado por dos varillas homogéneas de la misma densidad, siendo el travesaño de longitud $2 h$ y el mástil de longitud $h$ . La masa total del sólido es $M$

¿Cuánto vale su momento de inercia respecto a un eje perpendicular al plano de la T y que pasa por el extremo O del mástil?

A $(1 / 3) M h 2$ .
B $(2 / 3) M h 2$ .
C $M h 2$ .
D $3 M h 2$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

El momento de inercia es suma del del mástil más el del travesaño. En ambos casos aplicamos que el momento de inercia de una varilla respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a ella vale

$I_C=\frac{1}{12}mH^2$

y respecto a un eje paralelo a éste podemos hallarlo aplicando el teorema de Steiner

$I = I_C + m d^2\,$

Para el mástil tenemos entonces

$I_1 = \frac{1}{12}\left(\frac{M}{3}\right)h^2+\left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{h}{2}\right)^2=\frac{Mh^2}{9}$

y para el travesaño

$I_2 = \frac{1}{12}\left(\frac{2M}{3}\right)(2h)^2+\left(\frac{2M}{3}\right)\left(h\right)^2=\frac{8Mh^2}{9}$

Sumando las dos partes

$I=I_1+I_2=Mh^2\,$

6 Palanca

Para levantar un peso de 1 kN se emplea una palanca de 2 m de longitud. El peso se coloca en su extremo B. En el extremo A, opuesto al peso, se aplica una fuerza hacia abajo de 250 N. ¿A qué distancia de A, como mínimo, debe colocarse el fulcro para poder levantar el peso?

A 180 cm.
B 40 cm.
C 160 cm.
D 150 cm.

Solución

La respuesta correcta es la C.

Si $b A$ y $b B$ son las distancias de A y B, respectivamente, al fulcro, se cumple

$b_A+b_B=200\,\mathrm{cm}$

Por otro lado, la condición de posición mínima la da el caso en que haya equilibrio. Tomando momentos respecto al punto de apoyo O, debe cumplirse

$\vec{0}=\vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B$

Cada momento es igual a la fuerza correspondiente multiplicada por el brazo correspondiente, lo que da

$b_AF_A-b_BF_B=0\qquad\Rightarrow\qquad 250b_A-1000b_B=0\qquad\Rightarrow\qquad b_A=4b_B$

y puesto que la longitud total son 2 metros

$4b_B+b_B=200\,\mathrm{cm}\qquad\Rightarrow\qquad b_B = 40\,\mathrm{cm}\qquad\Rightarrow\qquad b_A = 160\,\mathrm{cm}$

7 Dos discos en contacto

Un sólido está formado por dos discos homogéneos de acero, del mismo espesor y radios $R_1=20\,\mathrm{cm}$ y $R_2=10\,\mathrm{cm}$ , tangentes en el borde. La masa del sólido completo es de 5kg.

7.1 Pregunta 1

¿Dónde se encuentra el centro de masas del sistema?

A En R( $x=15\,\mathrm{cm}$ )
B En S( $x=20\,\mathrm{cm}$ )
C En P( $x=6\,\mathrm{cm}$ )
D En Q( $x=10\,\mathrm{cm}$ )

Solución

La respuesta correcta es la C.

la posición del CM del sistema es

$\vec{r}_C=\frac{M_1\vec{r}_{C1}+M_2\vec{r}_{C2}}{M_1+M_2}$

Las masas de los discos son proporcionales al cuadrado de sus radios, por lo que la masa del disco 1 es 4 veces el del disco 2. Dado que suman 5kg

$M_1=4M_2\qquad\qquad M_1+M_2=5\,\mathrm{kg}\qquad\Rightarrow\qquad M_1=4\,\mathrm{kg}\qquad M_2=1\,\mathrm{kg}$

y las posiciones de los centros de masa respectivos son

$\vec{r}_{C1}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{r}_{C2}=30\,\vec{\imath}\,\mathrm{cm}$

con lo que obtenemos la posición del CM

$\vec{r}_C=\frac{(4\,\mathrm{kg})\vec{0}+(1\,\mathrm{kg})(30\,\vec{\imath}\,\mathrm{cm})}{5\,\mathrm{kg}}=6\,\vec{\imath}\,\mathrm{cm}$

7.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale el momento de inercia respecto a un eje perpendicular al plano de los discos y que pasa por el punto S( $x=20\,\mathrm{cm}$ )?

A 3400kg·cm²
B 2550kg·cm²
C 1275kg·cm²
D 850kg·cm²

Solución

La respuesta correcta es la B.

El momento de inercia de un disco homogéneo respecto a un punto de su borde se halla aplicando el teorema de Steiner

$I=I_C+MD^2 = \frac{1}{2}MR^2+MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$

Aplicamos esto a los dos discos y queda

$I=\frac{3}{2}\left(4\times 20^2+1\times 10^2\right)\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}^2=2550\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}^2$

8 Fuerza sobre una varilla

Sobre una varilla actúa únicamente una fuerza aplicada en su extremo y perpendicular a la dirección de la varilla. El resultado es…

A nulo. Ni la varilla gira, ni el CM se acelera.
B una aceleración lineal del CM, pero no una rotación de la varilla.
C una aceleración lineal del CM y una rotación de la varilla.
D una rotación de la varilla, pero el CM no se acelera.

Solución

La respuesta correcta es la C.

Las ecuaciones de la dinámica del sólido son

$m\vec{a}_G=\vec{F}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_G$

En este caso, la resultante de las fuerzas aplicadas (que es una sola), no es nula, ni tampoco lo es el momento respecto al CM de las fuerzas aplicadas (ya que la recta soporte de la fuerza no pasa por el CM).

por tanto, tenemos tanto aceleración lineal del CM como aceleración angular de la varilla.

Preguntas de test de dinámica del sólido rígido (GIE)

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1 Momento de inercia de un péndulo

2 Dos fuerzas sobre una barra

3 Comparación de dos momentos de inercia

4 Sólido formado por tres partículas

4.1 Pregunta 1

4.2 Pregunta 2

4.3 Pregunta 3

5 Sólido en forma de T

6 Palanca

7 Dos discos en contacto

7.1 Pregunta 1

7.2 Pregunta 2

8 Fuerza sobre una varilla

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