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Potencial eléctrico de un segmento cargado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sea un segmento rectilíneo de longitud L, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme λ.

  1. Halle el potencial que produce en un punto cualquiera del espacio.
  2. Demuestre que las equipotenciales son elipsoides con focos los extremos del segmento.

2 Solución

2.1 Potencial eléctrico

El cálculo del potencial eléctrico debido a un segmento es algo más complicado que el del campo eléctrico, pese a que la integral es aparentemente más simple. Para hallar el potencial por integración directa, debemos resolver la integral

\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\lambda(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}l'

En nuestro caso, empleando los mismos ejes y las mismas variables que para el cálculo del campo eléctrico, nos queda

\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{\lambda}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'

Empleando de nuevo el cambio de variable

z'-z=\sqrt{x^2+y^2}\tan\alpha         \mathrm{d}z'=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\cos^2\alpha}\,\mathrm{d}\alpha

nos queda ahora

\phi= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{\mathrm{d}\alpha}{\cos\alpha}

2.2 Superficies equipotenciales

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Potencial_el%C3%A9ctrico_de_un_segmento_cargado"

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