Integración aproximada de la velocidad

De Laplace

Revisión a fecha de 18:25 1 nov 2013; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Integración numérica
3 Integración analítica
4 Error relativo
5 Aceleración numérica
6 Aceleración analítica

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica

La partícula parte de $x = 0$ .

Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en $t=10\,\mathrm{s}$ .
Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad, en el SI, es

$v = \frac{14.4t}{(t+2)^2}$

¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?

Con ayuda de la cuadrícula halle el valor aproximado de la aceleración en $t = 3\,\mathrm{s}$ . Calcule el valor exacto y el error cometido con la aproximación.

2 Integración numérica

El área bajo la curva se puede aproximar mediante el método de los trapecios. Para ello, a partir de una serie de puntos conocidos de la curva, trazamos los trapecios que definen con el eje.

Si la curra pasa por los puntos $(t n, v n)$ y $(t n + 1, v n + 1)$ , el área de cada trapecio es la altura multiplicada por la media entre las dos bases. Este área equivale, aproximadamente, al desplazamiento entre esos dos instantes

$\Delta x \simeq (\Delta t)\left(\frac{v_n+v_{n+1}}{2}\right)$

Aplicando esto a nuestro caso, tenemos los puntos señalados

t(s)	0	1	2	4	10
v (m/s)	0.0	1.6	1.8	1.6	1.0

lo que nos da el desplazamiento total

$\Delta x = (1-0)\left(\frac{0.0+1.6}{2}\right)+(2-1)\left(\frac{1.6+1.8}{2}\right)+(4-2)\left(\frac{1.8+1.6}{2}\right)+(10-4)\left(\frac{1.6+1.0}{2}\right)=$ $=(0.8+1.7+3.4+7.8)\,\mathrm{m}=13.7\,\mathrm{m}$

3 Integración analítica

Si conocemos la dependencia funcional de la velocidad con el tiempo

$v = \frac{14.4t}{(t+2)^2}$

podemos hallar el desplazamiento mediante su integral analítica

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \Delta x = \int_{t_1}^{t_2}v\,\mathrm{d}t=\int_0^{10} \frac{14.4t}{(t+2)^2}\.\mathrm{d}t

4 Error relativo

5 Aceleración numérica

6 Aceleración analítica

Integración aproximada de la velocidad

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1 Enunciado

2 Integración numérica

3 Integración analítica

4 Error relativo

5 Aceleración numérica

6 Aceleración analítica

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