Fuerza entre dos varillas colineales

De Laplace

Revisión a fecha de 09:26 26 nov 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Calcule la fuerza entre dos varillas colineales, de longitudes $L 1$ y $L 2$ , que almacenan respectivamente cargas $Q 1$ y $Q 2$ , cuando sus extremos más próximos distan una cantidad $a$ .

2 Solución

la fuerza sobre una distribución de carga que almacena una carga total $Q$ , no es igual al producto de la carga por el campo

$\mathbf{F}\neq Q\mathbf{E}$

ya que esta expresión solo vale para cargas puntuales. En particular, ¿qué es $\mathbf{E}$ ? ¿El campo en un extremo de la varilla, en el otro, en su punto medio?

La expresión correcta para la fuerza neta sobre un sistema es, como ocurre generalmente en mecánica, la resultante de las fuerzas aplicadas, esto es, la suma vectorial de las fuerzas aplicadas sobre cada punto de la distribución.

Dividiendo una distribución en elementos de volumen, cada uno de los cuales se puede suponer puntual, queda

$\mathbf{F}= \int \mathrm{d}q\,\mathbf{E}(\mathbf{r})=\int \rho(\mathbf{r})\,\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathrm{d}\tau$

o la expresión correspondiente para una distribución de carga lineal

$\mathbf{F}= \int \mathrm{d}q\,\mathbf{E}(\mathbf{r})=\int \lambda(\mathbf{r})\,\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathrm{d}l$

En nuestro caso debemos hallar la fuerza entre dos varillas. Empleando el campo eléctrico como intermediario, podemos suponer que una de ellas (la varilla ”1“) crea el campo y la otra (la varilla ”2“) lo experimenta. Sea el segmento 1 el de carga $Q 1$ . Este segmento posee longitud $L 1$ .

Por comodidad podemos suponer como eje $Z$ el común a ambas varillas, y situar el origen de coordenadas en el centro de la varilla 1. Necesitamos calcular el campo eléctrico producido por este segmento, que para una distribución lneal es

$\mathbf{E})\mathbf{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \lambda(\mathbf{r}')\frac{\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3}\,\mathrm{d}l'$

pero no en todo el espacio, nos basta con hallarlo en los puntos del propio eje Z, que es donde se encuentra la segunda varilla. Por tanto, podemos hacer

$\mathbf{r}= z\mathbf{u}_z$ $\mathbf{r}'= z'\mathbf{u}_z$ $\mathbf{r}-\mathbf{r}'= \left(z- z'\right)\mathbf{u}_z$ \mathrm{d}l'=