Sistema de tres superficies esféricas cargadas

De Laplace

1 Enunciado

Supongamos un sistema formado por tres superficies esféricas concéntricas, de radios R₁ = 2a, R₂ = 3a y R₃ = 6a, respectivamente, que almacenan cargas Q₁, Q₂ y Q₃ distribuidas uniformemente en cada una.

Calcule

1. El campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
2. El trabajo necesario para llevar una carga q₀ desde el infinito hasta el centro del sistema.
3. La energía electrostática almacenada en el sistema de tres esferas (sin incluir la carga q₀).

para cada uno de los siguientes tres casos:

• Q₁ = Q₂ = Q₀, Q₃ = − 2Q₀.
• Q₁ = Q₃ = Q₀, Q₂ = − 2Q₀.
• Q₂ = Q₃ = Q₀, Q₁ = − 2Q₀.

2 Campo eléctrico

3 Caso general

En lugar de resolver tres veces el mismo problema, consideramos un sistema con cargas cualesquiera y posteriormente sustituimos por sus valores concretos.

El campo debido a las tres esferas, se calcula por aplicación de la ley de Gauss. Por la simetría esférica del sistema, el campo es radial y dependiente solo de la distancia al centro del sistema

Para cada superficie esférica que tomemos

De acuerdo con la ley de Gauss

Tenemos ahora cuatro regiones, de adentro a fuera:

r < 2a

En el interior de la esfera pequeña no se envuelve ninguna carga, por lo que el campo es nulo

2a < r < 3a

Entre la esfera pequeña y la intermedia se envuelve a la esfera pequeña, con carga Q₁

3a < r < 6a

Entre la esfera intermedia y la grande se envuelve tanto a la esfera pequeña como a la intermedia

6a<r

En el exterior de la esfera grande se envuelve a las tres esferas

Ahora bien, en los tres casos prácticos, la suma de las tres cargas es cero, así que

Reuniendo los cuatro resultados

4 Primer caso

5 Segundo caso

6 Tercer caso