Campo eléctrico de una esfera horadada
De Laplace
Contenido |
1 Enunciado
En un volumen en forma de esfera (de radio 3R) en la que se han hecho dos huecos (también esféricos, uno de radio 2R y otro de radio R) se distribuye uniformemente una carga Q.
- Calcule el campo eléctrico en el punto P, de tangencia de los dos huecos.
- Halle el potencial eléctrico en el mismo punto P.
- Calcule los dos primeros momentos multipolares del sistema, tomando como origen de coordenadas el centro de la esfera grande.
2 Solución
2.1 Campo eléctrico en P
En este apartado se trata de hallar el campo eléctrico en el punto $P$, no en todo el espacio.
Para ello, aplicaremos el principio de superposición. Nuestra distribución en forma de esfera con dos huecos la podemos considerar como compuesta de una esfera maciza, de radio $3R$ y densidad de carga $\rho_0$ (cuyo valor calcularemos a continuación), y dos esferas también macizas, de densidad de carga $-\rho_0$ y de radios $R$ y $2R$, descentradas respecto a la esfera mayor. \begin{center} \includegraphics{superposicion.eps} \end{center} Calculamos en primer lugar el valor de $\rho_0$ imponiendo que la carga total del sistema sea $Q$ \[ Q = \int\rho\,d\tau = \rho_0\frac{4\pi (3R)^3}{3}-\rho_0\frac{4\pi R^3}{3}-\rho_0\frac{4\pi (2R)^3}{3} = \] \[ = \frac{4\pi\rho_0R^3}{3}(27-1-8)=24\pi\rho_0 R^3 \] Por tanto \[ \rho_0 = \frac{Q}{24\pi R^3} \] {} El sistema se compone entonces de tres esferas, de cargas totales \[ Q_0 = \frac{4\pi\rho_0(3R)^3}{3} = \frac{3}{2}Q \] \[ Q_1 = -\frac{4\pi\rho_0R^3}{3} = -\frac{1}{18}Q \] \[ Q_2 = -\frac{4\pi\rho_0(2R)^3}{3} = -\frac{4}{9}Q \] estando los centros respectivos en \[ \mathbf{r}_{C0} = \mathbf{0}\qquad \mathbf{r}_{C1} = -2R\mathbf{u}_{z}\qquad \mathbf{r}_{C2}= R\mathbf{u}_{z} \] donde hemos tomado el origen de coordenadas en el centro de la esfera grande y el eje $Z$ el que pasa por los tres centros.
Ahora se trata de sumar los campos correspondientes a cada una de las esferas. En cada caso podemos aplicar la expresión para el campo de una esfera de radio $a$ cargada uniformemente con una carga $Q$: \[ \mathbf{E} = \cases{\displaystyle\frac{\rho \mathbf{r}}{3\varepsilon_0} & $r\leq a$ \cr & \cr \displaystyle\frac{\rho a^3 \mathbf{r}}{3\varepsilon_0 r^3} = \displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3}& $r\geq a$} \] Físicamente esta fórmula quiere decir que el campo debido a una esfera cargada uniformemente en el volumen equivale al de una carga puntual situada en su centro, para los puntos del exterior, y varía linealmente, para los puntos del interior.
Esta expresión presupone que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la esfera. Si no es así, simplemente se traslada, sustituyendo $\mathbf{r}$ por $\mathbf{r}-\mathbf{r}'$.
En nuestro caso, el punto $P$ se encuentra en el interior de la esfera grande y en la frontera de los dos huecos. Usando el sistema de ejes indicado anteriormente, la posición del punto $P$ es \[ \mathbf{r}_P = -R\mathbf{u}_{z} \] de forma que el campo debido a la esfera mayor es \[ \mathbf{E}_1 = \frac{\rho_0(-R\mathbf{u}_{z})}{3\varepsilon_0} = -\frac{\rho_0R}{3\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} \] Para los dos huecos podemos usar tanto la expresión interior como la exterior, por encontrarse el punto $P$ en la frontera.
Para el hueco pequeño, centrado en $-2R\mathbf{u}_{z}$ el campo es \[ \mathbf{E}_2 = \frac{(-\rho_0)(\mathbf{r}_P -\mathbf{r}_{C1})}{3\varepsilon_0} = -\frac{\rho_0R}{3\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} \] Para el hueco grande, centrado en $R\mathbf{u}_{z}$, el campo es \[ \mathbf{E}_3 = \frac{(-\rho_0)(\mathbf{r}_P -\mathbf{r}_{C2})}{3\varepsilon_0} = \frac{2\rho_0R}{3\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} \] de forma que el campo total en $P$ es \[ \mathbf{E} = \mathbf{E}_1 +\mathbf{E}_2 + \mathbf{E}_3 = \frac{\rho_0R}{3\varepsilon_0}(-1-1+2)\mathbf{u}_{z} = \mathbf{0} \] esto es, es nulo, independientemente del valor de $\rho_0$ y de $Q$.
Si se quiere emplear el campo de cargas puntuales para los dos huecos el resultado es, naturalmente, el mismo \[ \mathbf{E}_2 = \frac{Q_2\mathbf{r}_2}{4\pi\varepsilon_0 r_2^3} = \frac{-4\pi R^3\rho_0 R\mathbf{u}_{z}}{3{\cdot}4\pi\varepsilon_0 R^3} = -\frac{\rho_0R}{3\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} \] siendo $\mathbf{r}_2$ el vector de posición relativo al centro del hueco pequeño. Del mismo modo \[ \mathbf{E}_3 = \frac{Q_3\mathbf{r}_3}{4\pi\varepsilon_0 r_3^3} = \frac{-4\pi (2R)^3\rho_0 (-2R\mathbf{u}_{z})}{3{\cdot}4\pi\varepsilon_0 (2R)^3} = \frac{2\rho_0R}{3\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} \] resultando un campo total nulo.
