Momento de inercia de un sólido en L
De Laplace
1 Enunciado
Se tiene un sólido en forma de L de un metal homogéneo, siendo h la longitud de los brazos y M su masa total. Calcule el momento de inercia del sólido respecto a un eje perpendicular al plano de la L y que pasa por un punto del interior del cuadrado de lado h que define. ¿En qué punto es mínimo este momento de inercia?
2 Momento de inercia general
Para hallar el momento de inercia del sólido completo, lo consideramos como compuesto de dos varillas, cuyos momentos hallamos por separado, de forma que
Para hallar el momento de inercia de la varilla “1” respecto a un punto cualquiera aplicamos el teorema de Steiner
siendo I1C el momento de inercia de la varilla respecto a un eje paralelo pero que pasa por su centro de masas y d la distancia entre el eje original y el paralelo.
En este caso, estamos considerando un eje perpendicular a la varilla, por lo que el momento respecto a su centro de masas es
donde hemos aplicado que M1 = M / 2
La distancia entre los ejes paralelos la hallamos considerando que el centro de masas de la varilla uno se encuentra en
(empleando el sistema de ejes que tiene el origen de coordenadas en la esquina de la L y los ejes X e Y a lo largo de sus brazos). El punto por el que pasa el eje respecto al cual deseamos hallar el momento de inercia es un punto genérico
con lo que el cuadrado de la distancia al centro de la varilla mide
y el momento de inercia de la primera varilla vale
El de la segunda es idéntico, intercambiando los papeles de x e y.
Sumando los dos obtenemos el momento de inercia total
Desarrollando los cuadrados queda
