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Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2012 (F1 GIA)

De Laplace

1 Enunciado

Los puntos O, A, B y C son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que O y A se encuentran en un plano distinto al que contiene a B y C. Las coordenadas de estos puntos en un sistema de

referencia cartesiano son:

O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,}

medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores

\vec{u}=\overrightarrow{OB}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{v}=\overrightarrow{OC}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{w}=\overrightarrow{OO}^\prime.

y calcule el volumen del paralelepípedo.

2 Solución

Para resolver este sencillo ejercicio basta con aplicar las definiciones y propiedades de los dos operaciones que dotan de estructura de espacio vectorial al conjunto de los segmentos orientados en \mathrm{I}\!\mathrm{R}^3, ordenados como vectores libres. Como se sabe, dichas operaciones son la suma de vectores (según la ley del paralelogramo), y el producto de un vector por un escalar (en general, un número real).

Definamos los vectores \vec{a}, \vec{b} y \vec{c}, que tienen la dirección, el sentido y el módulo de los segmentos orientados \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} y \overrightarrow{OC}:

\overrightarrow{OA}=\vec{a}=(\sqrt{3}+1)\!\ \vec{\imath}\mathrm{;}\qquad\overrightarrow{OB}=\vec{b}=\vec{\imath}+\vec{k}\mathrm{;}\qquad\overrightarrow{OC}=\vec{c}=\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}+2\!\ \vec{\jmath}+\vec{k}
Obsérvese que, según la definición geométrica de la suma de vectores, se verificarán las siguientes relaciones:
\begin{array}{l} \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}\\ \vec{b}=\vec{u}+\vec{w}\\ \vec{c}=\vec{v}+\vec{v}\end{array}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Cuesti%C3%B3n_de_%C3%A1lgebra_vectorial,_Noviembre_2012_(F1_GIA)"

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