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No Boletín - Disco en barra ranurada (Ex.Ene/12)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Mediante un par de revolución, la barra ranurada horizontal OB\, (sólido "0") gira en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante \Omega\, alrededor del eje vertical O_1Z_1\, del triedro fijo O_1X_1Y_1Z_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de radio R\,, contenido en todo instante en el plano vertical OX_0Z_0\,, rota en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante 2\,\Omega\,, mientras que su centro C\, se desplaza por la ranura de la barra con celeridad constante 4\,\Omega R\, en el sentido positivo del eje OX_0\,. En el instante representado en la figura, y al que se refieren las siguientes preguntas, el centro C\, del disco se halla a distancia 2R\, del extremo O\, de la barra, y se denomina A\, al punto del disco que ocupa la posición más alta.

  1. Determine la posición del EIR{20}
  2. Calcule la velocidad instantánea \vec{v}^{A}_{21}\,
  3. Calcule la aceleración instantánea \vec{a}^{\, O}_{21}\,
Archivo:barra-ranurada.png

2 Datos del problema

Lo primero que vamos a hacer es expresar en la base vectorial asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\, los datos que se deducen de la lectura del enunciado:

\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0    ;        \vec{\omega}_{20}=-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0    ;        \vec{v}^{\, C}_{20}=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0    ;        \overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0    ;        \overrightarrow{CA}=R\,\vec{k}_0

3 Posición del EIR{20}

Sabemos que el EIR{20} tendrá la dirección de \vec{\omega}_{20}\,. Por tanto, se trata de una recta paralela al eje OY_0\, (perpendicular al plano OX_0Z_0\,). Para calcular un punto I\, que pertenezca al eje EIR{20}, utilizamos la fórmula habitual:

\overrightarrow{CI}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, C}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{\, 2}}=\frac{-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0\times 4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0}{4\,\Omega^{2}}=2R\,\vec{k}_0

NOTA: Este ejercicio se puso en un examen tipo test, en el cual la respuesta correcta para definir la posición de un punto I\, por el que pasa el EIR{20} era: \overrightarrow{AI}=R\,\vec{k}_0\,, que evidentemente es equivalente a \overrightarrow{CI}=2R\,\vec{k}_0\, dado que \overrightarrow{CA}=R\,\vec{k}_0 .

En definitiva, las ecuaciones del EIR{20} en el triedro OX_0Y_0Z_0\, son:

\frac{x_0-2R}{0}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0-2R}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{x_0 = 2R, \,\, z_0 = 2R\}

4 Velocidad instantánea del punto A en el movimiento {21}

Calculamos la velocidad relativa del punto A (\vec{v}^{A}_{20}\,)

Calcularemos la velocidad {21} (absoluta) del punto A\, mediante la ley de composición de velocidades, es decir, sumando las velocidades {20} (relativa) y {01} (de arrastre) de dicho punto:

\vec{v}^{A}_{21}=\vec{v}^{A}_{20}+\vec{v}^{A}_{01}

Y, a su vez, calcularemos las velocidades relativa y de arrastre del punto A\, apoyándonos en otros puntos cuyas correspondientes velocidades sean conocidas (utilizando la ecuación del campo de velocidades):

\begin{array}{l} \vec{v}^{A}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0+(-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times R\vec{k}_0=2\,\Omega R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{A}_{01}=\vec{v}^{\, O}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\vec{0}+\Omega\,\vec{k}_0\times (\,\underbrace{2R\,\vec{\imath}_0}_{\overrightarrow{OC}}+\underbrace{R\vec{k}_0}_{\overrightarrow{CA}}\,)=2\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0 \end{array}

Para estos cálculos, además de sustituir los datos recogidos al inicio de esta solución, se ha tenido en cuenta que el punto O\, pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01}, es decir, se trata de un punto fijo en dicho movimiento y, por tanto, \vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0}\, (también \vec{a}^{\, O}_{01}=\vec{0}\,, tal como utilizaremos más adelante).

5 Aceleración instantánea del punto O en el movimiento {21}

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Disco_en_barra_ranurada_(Ex.Ene/12)"

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