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5.5. Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)

De Laplace

1 Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { x=0\,, z=L\,} (con L\neq 0\,); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { y=0\,, z=-L\,}. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo módulo: |\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\Omega\neq 0\,, y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

  1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
  2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

2 Solución

En el enunciado se nos proporciona la información necesaria para poder determinar los vectores \vec{\omega}_{20}\, y \vec{\omega}_{01}\,, ya que se nos dan sus módulos (|\,\vec{\omega}_{20}|=|\,\vec{\omega}_{01}|=\Omega\,), sus direcciones (\vec{\omega}_{20}\parallel\mathrm{EIR{20}} \parallel OY\, y \vec{\omega}_{01}\parallel\mathrm{EIR{01}} \parallel OX\,) y sus sentidos (+\vec{\jmath}\, y +\vec{\imath}\,, respectivamente). La dirección del vector \vec{\omega}_{20}\, es la dirección del EIR{20} dado. Como también se nos dice el módulo (\Omega\,) y el sentido (el positivo del eje OY\,) de dicho vector, estamos en condiciones de escribir su valor:

\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{\jmath}

Y como también conocemos la dirección (nos dan el EIR{01}), el módulo (\Omega\,) y el sentido (el positivo del eje OX\,) del vector \vec{\omega}_{01}\,, podemos escribir su valor:

\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\imath}

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes no son concurrentes, sino que se cruzan en el espacio.

NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos calcular la velocidad {21} de algún punto (para poder determinar el segundo invariante). Vamos a calcular, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas O(0,0,0)\, como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular dichas velocidades {20} y {01} de O\, nos apoyaremos (vía la ecuación del campo de velocidades) en los puntos A(0,0,L)\, y B(0,0,-L)\,, los cuales pertenecen, respectivamente, al EIR{20} y al EIR{01}. Así:

\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{20}\,\times\,\overrightarrow{AO}+\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{01}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{01}\,\times\,\overrightarrow{BO}=\Omega\,\vec{\jmath}\,\times\,(-L\,\vec{k})+\Omega\,\vec{\imath}\,\times\,L\,\vec{k}=-\Omega L(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)

Calculamos ahora el segundo invariante:

v^{\mathrm{min}}_{21}=\frac{\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\omega_{21}|}=-\sqrt{2}\,\Omega L

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es un movimiento helicoidal, ya que tanto el primer como el segundo invariante son no nulos:

\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0} \\ \\ v^{\mathrm{min}}_{21}=-\sqrt{2}\,\Omega L\neq 0 \end{array}\right\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\, {21} es un MOVIMIENTO HELICOIDAL

Obsérvese que la velocidad \vec{v}^{\, O}_{21}\, ha resultado ser paralela a la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\,. Por tanto, el EIRMD{21} pasa por el origen de coordenadas O\, y su dirección es la dirección del vector velocidad angular del movimiento {21}. Po tanto, las ecuaciones del EIRMD{21} son:

\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{y = x, \,\, z = 0\}

Si inicialmente no nos hubiésemos dado cuenta de que \vec{v}^{\, O}_{21}\parallel\vec{\omega}_{21}\, y que, por tanto, O\in EIRMD{21}, lo detectaríamos al tratar de calcular un punto I\, perteneciente al EIRMD{21} utilizando la fórmula habitual:

\overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I\equiv O
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