5.5. Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)

De Laplace

Revisión a fecha de 22:09 11 nov 2012; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { $x=0\,$ , $z=L\,$ } (con $L\neq 0\,$ ); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { $y=0\,$ , $z=-L\,$ }. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo módulo: $|\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\Omega\neq 0\,$ , y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

2 Solución

La dirección del vector $\vec{\omega}_{20}\,$ es la dirección del EIR{20} dado. Como también se nos dice el módulo ( $\Omega\,$ ) y el sentido (el positivo del eje $OY\,$ ) de dicho vector, estamos en condiciones de escribir su valor:

$\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{\jmath}$

Y como también conocemos la dirección (nos dan el EIR{01}), el módulo ( $\Omega\,$ ) y el sentido (el positivo del eje $OX\,$ ) del vector $\vec{\omega}_{01}\,$ , podemos escribir su valor:

$\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\imath}$

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)$

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes no son concurrentes, sino que se cruzan en el espacio.

NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos calcular la velocidad {21} de algún punto (para poder determinar el segundo invariante). Vamos a calcular, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas $O(0,0,0)\,$ como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular dichas velocidades {20} y {01} de $O\,$ nos apoyaremos (vía la ecuación del campo de velocidades) en los puntos $A(0,0,L)\,$ y $B(0,0,-L)\,$ , los cuales pertenecen, respectivamente, al EIR{20} y al EIR{01}. Así:

$\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{20}\,\times\,\overrightarrow{AO}+\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{01}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{01}\,\times\,\overrightarrow{BO}=\Omega\,\vec{\jmath}\,\times\,(-L\,\vec{k})+Omega\,\vec{\imath}\,\times\,L\,\vec{k}=-\Omega L(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)$

Calculamos ahora el segundo invariante:

$v^{\mathrm{min}}_{21}=\frac{\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\omega_{21}|}=-\sqrt{2}\,\Omega L$

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es un movimiento helicoidal, ya que tanto el primer como el segundo invariante son no nulos:

$\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0} \\ \\ v^{\mathrm{min}}_{21}=-\sqrt{2}\,\Omega L\neq 0 \end{array}\right\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,$ {21} es un MOVIMIENTO HELICOIDAL

Obsérvese que la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ ha resultado ser paralela a la velocidad angular $\vec{\omega}_{21}\,$ . Por tanto, el EIRMD{21} pasa por el origen de coordenadas $O\,$ y su dirección es la dirección del vector velocidad angular del movimiento {21}. Po tanto, las ecuaciones del EIRMD{21} son:

$\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{y = x, \,\, z = 0\}$

Si inicialmente no nos hubiésemos dado cuenta de que $\vec{v}^{\, O}_{21}\parallel\vec{\omega}_{21}\,$ , lo detectaríamos al tratar de calcular un punto $I\,$ perteneciente al EIRMD{21} utilizando la fórmula habitual:

$\overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I\equiv O$

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