Fundamentos matemáticos
De Laplace
Contenido |
1 Introducción
2 Sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
3 Campos escalares y vectoriales
4 Operadores diferenciales
De los campos escalares y vectoriales es importante no sólo conocer su valor, sino también como varían con la posición. De entre las diferentes combinaciones de derivadas que se pueden construir, existen algunas con un significado físico propio.
4.1 Gradiente
Dado un campo escalar 
, su gradiente, 
, es un campo vectorial definido como el único vector que dados dos puntos vecinos 
y 
, permite hallar el diferencial de φ como
A partir de esta definición se obtiene que la expresión de 
en un sistema coordenado ortogonal es
con aplicación inmediata a los tres sistemas más comunes.
Este vector puede leerse como la aplicación de un operador vectorial 
(llamado operador nabla) al campo escalar, siendo
Entre las propiedades del gradiente destaca la de ser normal a las superficies equipotenciales.
Del campo 
se dice que deriva del potencial escalar .
4.2 Divergencia
La divergencia, $\nabla{\cdot}\mathbf{A}$, de un campo vectorial $\mathbf{A}$ se define como el límite, cuando un volumen $\Delta\tau$ se reduce a un punto, del flujo del campo a través de la frontera de $\Delta\tau$, dividido por el volumen del elemento \begin{equation} \nabla{\cdot}\mathbf{A}=\lim_{\Delta\tau\to 0}\frac{1}{\Delta\tau}\oint_{\partial\tau}\mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} \end{equation} A partir de esta definición puede demostrarse que la divergencia de un campo puede calcularse como la aplicación del operador $\nabla$ escalarmente sobre $\mathbf{A}$. Su expresión en distintos sistemas y en general se indica en la tabla correspondiente.
La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar $\rho$, denominado las \emph{fuentes escalares} de $\mathbf{A}$ \begin{equation} \rho(\mathbf{r})=\nabla{\cdot}\mathbf{A} \end{equation} Gráficamente, la divergencia es una medida de si el campo brota de un punto (divergencia positiva), se concentra hacia él (divergencia negativa) o ninguna de las dos cosas (divergencia nula). Un campo que tiene divergencia nula en todos los puntos se denomina campo solenoidal.
4.3 Rotacional
El rotacional, $\nabla\times\mathbf{F}$, de un campo vectorial $\mathbf{F}$ es un vector, cuya componente en un punto $\mathbf{r}$, según la dirección dada por un vector unitario $\mathbf{u}_{}$ es \begin{equation} (\nabla\times\mathbf{F}){\cdot}\mathbf{u}_{} =\lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint_\Gamma \mathbf{F}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} \end{equation} siendo $\Gamma$ una curva que se reduce a un punto, y $\Delta S$ el área delimitada por la curva. La dirección normal al plano de la curva es la dada por $\mathbf{u}_{}$ y la orientación la que establece la regla de la mano derecha.
A partir de la definición se deduce que el rotacional se puede calcular como la aplicación del operador nabla como un producto vectorial sobre $\mathbf{F}$.
El campo vectorial que se obtiene a partir de $\mathbf{F}$ hallando su rotacional en cada punto se denomina como \emph{fuentes vectoriales} de $\mathbf{F}$. Un campo cuyas fuentes vectoriales son nulas se conoce como irrotacional o potencial.
