Sistema electrostático de tres cargas puntuales

De Laplace

Revisión a fecha de 11:35 18 sep 2012; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Un sistema electrostático está formado por tres cargas eléctricas puntuales. Dos de ellas tienen idéntico valor $q=3\,\mathrm{nC}$ y se hallan en los puntos

P 1

y

P 2

, dados por los vectores de posición $\mathbf{r}_1=+12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}$ y $\mathbf{r}_2=-12\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}$ , respectivamente. La tercera carga tiene un valor

Q

y se halla en el punto

P 3

, dado por $\mathbf{r}_3=-16\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}$ .

Determine, si es posible, el valor que debe tener la carga $Q$ y la posición $\mathbf{r}_0=y_0\mathbf{u}_y$ de un punto del eje $O Y$ en el cuál se anulen simultáneamente el potencial y el campo eléctrico creado por el sistema de tres cargas.
¿Cuál es la energía electrostática del sistema descrito en el caso particular $Q = −10 \,\mathrm{nC}$ ?
En la situación particular del apartado anterior, ¿qué trabajo hay que realizar para traer una carga $q$ desde el infinito hasta el punto de posición $\mathbf{r}_4=+9\mathbf{u}_y\,\mathrm{(cm)}$ . ¿Cuánto vale la fuerza electrostática ejercida sobre dicha carga este punto?
Determine los momentos monopolar y dipolar de la distribución correspondiente al apartado 2. Halle el potencial exacto y el aproximado por el desarrollo multipolar, para el punto $\mathbf{r}_5=+36\mathbf{u}_x\,\mathrm{(cm)}$ . Calcule el error relativo cometido en la aproximación, según la fórmula

$\epsilon=\left|\frac{V_\mathrm{aprox}-V_\mathrm{exac}}{V_\mathrm{exac}}\right|$

2 Solución

2.1 Punto de campo eléctrico y potencial nulo

Sean tres cargas puntuales $q 1$ , $q 2$ y $q 3$ , situadas en los puntos $P 1$ , $P 2$ y $P 3$ , cuyas posiciones respecto de un punto fijo $O$ (origen de un sistema de referencia), están determiandas por sendos vectores $\mathbf{r}_1$ , $\mathbf{r}_2$ y $\mathbf{r}_3$ . El campo eléctrico y el potencial electrostático creado por el sistema en un punto $P$ , descrito por el radiovector $\mathbf{r}$ , responden a las siguientes expresiones:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=k_e \ \sum_{i=1}^3\frac{q_i\!\ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\mathrm{;}\,\qquad\phi(\mathbf{r})=k_e \ \sum_{i=1}^3\frac{q_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|}$

donde el valor de la constante $k e$ en el Sistema Internacional (SI) es, $\displaystyle k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times 10^9\;\frac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}$ .

Sistema electrostático de tres cargas puntuales

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2 Solución

2.1 Punto de campo eléctrico y potencial nulo

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