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Cálculo de gradientes

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Para los campos escalares

  1. \phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,
  2. \phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

2 Solución

2.1 Primer campo

El gradiente del primer campo, calculado en cartesianas es

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\mathbf{u}_{x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\mathbf{u}_{y}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{u}_{z}=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}

Vemos que el resultado no es otro que el vector de posición.

Para calcularlo en cilíndricas, empleamos la expresión de este campo que calculamos en el problema \theboletin.\ref{CampoEscalar}.

\phi = \frac{\rho^2+z^2}{2}


\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\mathbf{u}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\mathbf{u}_{\varphi}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{u}_{z} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+z\mathbf{u}_{z}

Y, en esféricas,

\phi = \frac{r^2}{2}
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\mathbf{u}_{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\mathbf{u}_{\theta}+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\mathbf{u}_{\varphi} = r\mathbf{u}_{r}

De estos resultados obtenemos tres expresiones equivalentes para el vector de posición

\mathbf{r} = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+z\mathbf{u}_{z} = r\mathbf{u}_{r}

y, comparando las dos primeras,

\rho\mathbf{u}_{\rho}=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}

2.2 Segundo campo

Para el segundo campo operamos de forma análoga, empleando las expresiones calculadas en otro problema

\nabla\phi = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}
\nabla\phi = -\rho\mathbf{u}_{\rho}+2z\mathbf{u}_{z}
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \nabla\phi = r\left(3\cos^2\theta-1\right)\mathbf{u}_{r}-3r\sen\theta\cos\theta\mathbf{u}_{\theta}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_gradientes"

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